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[ID: 3103] [Date de publication: 9 novembre 2022 23:18] [Catégorie(s): En cours... ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Patrice Lassère ]

Solution(s)

Solution(s)

Supplémentaires universels d’un espace de dimension finie
Par Patrice Lassère le 9 novembre 2022 23:18

1. - Par le théorème de la base incomplète \(O_i\) est non vide et c’est un ouvert (\(E^{n-k}\) est bien entendu muni de sa topologie usuelle d’espace vectoriel normé) vu l’évidente continuité des applications \(f_i\).

   Il reste à établir la densité. Soit \(\mathbf{u}=(u_1,\dots,u_{n-k})\in E^{n-k}\), pour \(\mathbf{v}\in\mathscr O_i\) l’application \[p_i(x)=f_i(x\textbf{u}+\textbf{v})= \det(e^i_1,e^i_2,\dots,e^i_k,xu_1+v_1,\dots,xu_{n_k}+v_{d-k}),\quad x\in\mathbb R,\] est un polynôme en \(x\) non identiquement nul puisque \(p_i(0)=f_i(\textbf{v})\neq 0\). Il existe donc \(R>0\) tel que \(x\geq R\) implique \(p_i(x)\neq 0\). Ainsi \(x\textbf{u}+\textbf{v}\) et par suite \(\textbf{u}+x^{-1}\textbf{v}\) (car pour \(x\in\mathbb R^\star\) on a \(p_i(x)=x^np_i(\textbf{u}+x^{-1}\textbf{v})\)...) est dans \(\mathscr O_i\) pour tout \(x\geq R\). Mais \[\Vert \textbf{u}-(\textbf{u}+x^{-1}\textbf{v})\Vert=x^{-1}\Vert\textbf{v}\Vert\underset{x\to+\infty}{\longrightarrow}0.\] Toute boule centrée en \(\textbf{u}\) rencontre donc \(\mathscr O_i\) qui est bien un ouvert dense de \(E^{n-k}\).

   Pour achever la démonstration, le théorème de Baire assure que \(\cap_{i\in\mathbb N}\mathscr O_i\) est une partie dense de \(E^{n-k}\) et pour tout \((e_1,\dots,e_{n-k})\in\cap_{i\in\mathbb N}\mathscr O_i\) l’ensemble \(F:=\text{vect}\{e_1,\dots,e_{n-k}\}\) convient.