[amm], mai 1993.

La constante d’Euler \(\gamma\) est traditionellement définie par la limite \[\gamma=\lim_{n\to\infty}U_n:=\lim_{n\to\infty}\left(1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dots+\dfrac{1}{n}-\log(n)\right):=\lim_{n\to\infty}U_n.\]

  1. Montrer que \(\quad \dfrac{1}{2(n+1)}<U_n-\gamma<\dfrac{1}{2n},\ n\in\mathbb N.\)

  2. Si on modifie légèrement la suite \((U_n)_n\) en la remplacant par la suite \((V_n)_n\) où \[V_n=1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dots+\dfrac{1}{n}-\log\left( n+\dfrac{1}{2}\right),\] nous allons vérifier que la convergence est notablement accélérée, plus précisément nous avons \[\dfrac{1}{24(n+1)^2}<V_n-\gamma<\dfrac{1}{24n^2},\ n\in\mathbb N.\] Pour cela, soit \(f(x)=-(x+1)^{-1}-log(x+\frac{1}{2})+log(x+\frac{3}{2})\).

    \(\rightsquigarrow\quad\) Vérifier que \(V_n-V_{n+1}=f(n),\ n\in\mathbb N\).

    \(\rightsquigarrow\quad\) Montrer que \(-f'(x)<\frac{1}{4}(x+\frac{1}{2})^{-4}.\) En déduire que \[f(k) \leq \dfrac{1}{12}(k+\dfrac{1}{2})^{-3}<\int_k^{k+1}t^{-3}\dfrac{dt}{12}\] et montrer l’inégalité de droite.

    \(\rightsquigarrow\quad\) Faire de même à gauche et conclure.

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[ID: 3099] [Date de publication: 9 novembre 2022 23:18] [Catégorie(s): En cours... ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Patrice Lassère ]




Solution(s)

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Accélération de la convergence vers la contante d’Euler
Par Patrice Lassère le 9 novembre 2022 23:18

  2. Comme \[f'(x)=-\dfrac{1}{4(x+1)^2(x+1/2)(x+3/2)},\quad x\in\mathbb R_+^\star\] on a \[-f'(x)<\dfrac{1}{4(x+1/2)^4},\quad x\in\mathbb R_+^\star.\] De là, \(\lim_{x\to\infty}f(x)=0\) assure que pour tout \(k\in\mathbb N^\star\) \[f(k)=-\int_k^\infty\,f'(x)dx<\dfrac{1}{4}\int_k^\infty\,(x+1/2)^{-4}dx =\dfrac{1}{12(k+1/2)^3}.\] Maintenant, en remarquant que \((k+1/2)^2=k^2+k+1/4>k(k+1)\) on peut écrire \[\dfrac{1}{(k+1/2)^3}<\dfrac{1}{(k+1/2)k^2(k+1)^2} <\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{2k+1}{k^2(k+1)^2}=\int_k^{k+1}x^{-3}dx,\] (cette inégalité peut être suggérée par par la figure ci-contre) soit \[f(k)<\dfrac{1}{12}\int_k^{k+1}x^{-3}dx,\quad \forall\,k\in\mathbb N^\star.\]

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