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[ID: 3097] [Date de publication: 9 novembre 2022 23:18] [Catégorie(s): En cours... ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Patrice Lassère ]

Solution(s)

Solution(s)

Autour des ! universelles des fonctions continues
Par Patrice Lassère le 9 novembre 2022 23:18

1. Pour une telle fonction et \(n\in\mathbb N^\star\), écrivons \[\left(f\left(\dfrac{1}{n}\right)-f\left(\dfrac{0}{n}\right)\right)+ \left(f\left(\dfrac{2}{n}\right)-f\left(\dfrac{1}{n}\right)\right)+ \dots +\left(f\left(\dfrac{n}{n}\right)-f\left(\dfrac{n-1}{n}\right)\right)=f(1)-f(0)=0.\] Si l’une des \(n\) parenthèses s’annule, \(1/n\) est une corde de \(f\). Sinon, considérons la fonction \(d(x):=f(x+1/n)-f(x)\), elle est continue sur \([0,1-1/n]\) et la formule précédente s’écrit \[d(0)+d(1/n)+\dots+d(n-1/n)=0.\] Comme les réels \(d(0),d(1/n),\dots,d((n-1)/n)\) sont non nuls mais de somme nulle, deux d’entre-eux au moins sont de signe contraire et par continuité de \(d\) le théorème des valeurs intermédiaires assure que \(d\) s’annule sur l’intervalle d’extrémités ces deux valeurs. il existe donc \(x\in[0,1-1/n]\) tel que \(d(x)=0\) i.e. \(f(x)=f(x+1/n)\) : \(1/n\) est bien une corde pour \(f\).

2. Supposons maintenant que \(c\) ne soit pas l’inverse d’un entier, comme dans la question précédente on commence par construire une fonction \(g\) continue sur \([0,1]\) telle que \[g(0)=0,\ g(1)=1\quad\text{et}\quad g(x)=g(x+c),\ x\in[0,1-c].\] Il est possible de s’assurer de l’existence d’une telle fonction en dessinant son graphe mais il est aussi possible de donner une formule explicite de l’une d’entre-elles : \[g(x)=\dfrac{\sin\left( \dfrac{2\pi x}{c}\right) }{\sin\left( \dfrac{2\pi }{c}\right)}.\] Considérons alors \[f(x):=x-g(x),\quad x\in[0,1].\] \(f\) est continue sur \([0,1]\), \(f(0)=f(1)=0\) mais \(c\) ne peut être une corde pour \(f\) : en effet, s’il existe \(x\in[0,1-c]\) tel que \(f(x)=f(x+c)\) alors \[f(x+c)-f(x)=(x+c-g(x+c))-(x-g(x))=c>0,\] et \(c\) n’est pas une corde universelle.

4. Pour \(x\in[0,7/10]\) l’application continue \(x\mapsto f(x+3/10)-f(x)\) ne s’annule pas ; elle garde donc un signe constant que l’on peut supposer strictement positif. On a donc \(f(x+3/10)>f(x),\ \forall \,x\in[0,3/10]\). En particulier \(f(9/10)>f(6/10)>f(3/10)>f(0)=0\) et \(0=f(1)>f(7/10)>f(4/10)>f(1/10)\). Ainsi, sur chacun des intervalles \(]1/10,3/10[,]3/10,4/10[,]4/10,6/10[, ]6/10,7/10[, ]7/10,9/10[\) \(f\) change de signe, donc, d’aprés le théorème des valeurs intermédiaires s’annule. Comme \(f(0)=f(1)=0\) elle admet au moins sept zéros sur \([0,1]\).