Lecture zen
*
Une inégalité...
Soient \(x_1\geq x_2\geq \dots,x_n\geq 0\) tels que \[\sum_{j=1}^nx_j\leq 400\quad\text{et}\quad \sum_{j=1}^nx_j^2\leq 10^3,\] montrer que \[\sqrt{x_1}+\sqrt{x_2}\geq 10.\]
Barre utilisateur
[ID: 3095] [Date de publication: 9 novembre 2022 23:17] [Catégorie(s): En cours... ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Patrice Lassère ]Solution(s)
Solution(s)
Une inégalité...
Par Patrice Lassère le 9 novembre 2022 23:17
Par Patrice Lassère le 9 novembre 2022 23:17
Si \(x_1\geq 100\) il n’y a rien à démontrer, supposons donc \(x_1\leq 100\). On peut alors écrire \[\begin{aligned} 10^3&\leq x_1^2+\sum_{j=2}^n x_j^2\leq x_1^2+x_2\sum_{j=2}^nx_j\\ &\leq x_1^2+x_2(400-x_1)=x_1(x_1-x_2)+400x_2\\ &\leq 100(x_1-x_2)+400x_2=100x_1+300x_2\end{aligned}\] soit \[10\leq x_1+3x_2.\] Maintenant \[(\sqrt{x_1}+\sqrt{x_2})^2=x_1+x_2+2\sqrt{x_1x_2}\geq x_1+x_2+2\sqrt{x_2x_2}=x_1+3x_2\geq 10,\] ce qu’il fallait démontrer.
Documents à télécharger
L'exercice