Barre utilisateur

[ID: 3093] [Date de publication: 9 novembre 2022 23:17] [Catégorie(s): En cours... ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Patrice Lassère ]

Solution(s)

Solution(s)

Différentiabilité de \(M_n(\mathbb R)\ni M\mapsto (\text{tr}(M),\text{tr}(M^2),\dots,\text{tr}(M^n))\) et applications
Par Patrice Lassère le 9 novembre 2022 23:17

1. On a pour \(k\in\mathbb N^\star\) \[\text{tr}(M+H)^k=\text{tr}(M^k)+\sum_{i=0}^{k-1}\,\text{tr}(M^iHM^{k-1-i})+O(\Vert H\Vert^2),\] et l’identité \(\text{tr}(AB)=\text{tr}(BA)\) entraine alors \[\text{tr}(M+H)^k=\text{tr}(M^k)+k\text{tr}(M^{k-1}H)+O(\Vert H\Vert^2).\] Les fonctions composantes de \(f\) sont donc différentiables, il en va donc de même pour \(f\) et \[df(M)(H)=(\text{tr}(H),2\text{tr}(MH),\dots,n\text{tr}(M^{n-1}H)).\]

2. Pour \(X\in M_n(\mathbb R)\), désignons par \(\Phi_X\) la forme linéaire sur \(M_n(\mathbb R)\) définie par \(\Phi_X(H)=\text{tr}(XH)\). L’application \(X\mapsto \Phi_X\) réalise un isomorphisme entre \(M_n(\mathbb R)\) et son dual \(M_n(\mathbb R)^\star\). Ainsi les formes \((\Phi_{M^k})_0^{n-1}\) forment une famille de rang égal à celui des matrices \((M^k)_0^{n-1}\) lui même égal à \(d\) le degré du polynôme minimal de \(M\). Par conséquent, \(\dim\ker df(M)=n^2-d\), donc \(\text{rg}df(M)=d\).

3. Le polynôme minimal divisant toujours le polynôme caractéristique, l’ensemble \(\mathscr C\) des matrices dont les polynôme minimal et caractéristique coïncident est formé des matrices pour lesquelles le polynôme minimalest de degré \(n\). Soit \(M\in\mathscr C\), on sait donc que \(\text{rg}df(M)=n\) et comme \(df(M)\) est continue, il existe1 un voisinage de \(M\) dans \(M_n(\mathbb R)\) sur lequel \(\text{rg}df\geq n\). Par conséquent \(\mathscr{C}\) est ouvert dans \(M_n(\mathbb R)\).

---

1. par continuité de l’application déterminant...↩︎