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[ID: 3091] [Date de publication: 9 novembre 2022 23:17] [Catégorie(s): En cours... ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Patrice Lassère ]

Solution(s)

Solution(s)

Autour du théorème de Gauss-Lucas
Par Patrice Lassère le 9 novembre 2022 23:17

1. Soient \(r_1,\dots,r_n\) les racines deux à deux distinctes de \(P\) de multiplicités respectives \(m_1,\dots,m_n\) de telle sorte que \(P(z)=(z-r_1)^{m_1}\dots (z-r_n)^{m_n}\) ; aprés un calcul classique \[\dfrac{P'(z)}{P(z)}=\dfrac{m_1}{z-r_1}+\dots+\dfrac{m_n}{z-r_n}.\] Un zéro de \(P'\) qui est aussi un zéro de \(P\) est trivialement dans \(H\), considérons donc \(z_0\) un zéro de \(P'\) qui n’est pas un zéro de \(P\) ; l’égalité précédente s’écrit \[\begin{aligned}0&=\dfrac{m_1}{z_0-r_1}+\dots+\dfrac{m_n}{z_0-r_n}\\ &=\dfrac{m_1(\overline{z_0}-\overline{r_1})}{\vert z_0-r_1\vert^2}+ \dots+\dfrac{m_n(\overline{z_0}-\overline{r_n})}{\vert z_0-r_n\vert^2}\\ &=\lambda_1(\overline{z_0}-\overline{r_1})+\dots+\lambda_n(\overline{z_0}-\overline{r_n}), \end{aligned}\] où \(\lambda_k:=m_K/\vert\overline{z_0}-\overline{r_k}\vert^2\in\mathbb R_+\). La dernière égalité peut alors aussi s’écrire \[z_0=\dfrac{\lambda_1 r_1+\dots+\lambda_nr_n}{\lambda_1+\dots+\lambda_n},\] qui assure que \(z_0\) est combinaison convexe des racines de \(P\).

2. Nous avons \[\begin{aligned} \vert z_1+\dots+z_n\vert&\geq \vert\text{Re}(z_1+\dots+z_n)\vert\\ &=\vert z_1\vert\cos(\theta_1)+\dots+\vert z_n\vert\cos(\theta_n)\\ &\geq (\vert z_1\vert+\dots+\vert z_n\vert)\cos(\psi)\\ &\geq n(\vert z_1\vert\dots\vert z_n\vert)^{1/n}\cos(\psi) \end{aligned}\] où l’on a successivement utilisé la décroissance de la fonction cosinus sur \([0,\pi/2]\) et l’inégalité arithmético-géométrique¹ sur les réels positifs \(\vert z_j\vert,\ j=1,\dots,n\).

3. Soient \(r_1,\dots, r_d\) les racines de \(P\) comptées cette fois-ci avec leur multiplicité et \(z\in\mathbb C\) un nombre complexe en dehors de l’enveloppe convexe \(H\) des zéros de \(P\). Sous forme polaire nous avons \(z-r_j=\rho_je^{i\theta_j}\) soit \[\dfrac{1}{z-r_j}=\rho_j^{-1}e^{i\theta_j},\quad 1\leq j\leq d,\] où \(\theta_j\leq 2\psi,\ (1\leq j\leq n)\). L’inégalité arithmético-géométrique complexe implique (bien remarquer que \(H\) fermé convexe et \(z\not\in H\) impliquent \(\psi\in [0,\pi/2[\)...) \[\cos(\psi)\left\vert\dfrac{1}{z-r_j}\dots\dfrac{1}{z-r_n}\right\vert^{1/n}\leq \dfrac{1}{n}\left\vert\sum_{j=1}^n\,\dfrac{1}{z-r_j}\right\vert\] qui peut aussi s’écrire \[\left\vert \dfrac{a_n}{P(z)}\right\vert^{1/n}\leq \dfrac{1}{n\cos(\psi)}\left\vert\dfrac{P'(z)}{P(z)}\right\vert,\quad\forall\,z\not\in H.\]

   S’il existe un zéro de \(P'\) qui ne soit pas dans \(H\), il n’est donc pas une racine de \(P\) et par l’inégalité de Wilf \[0<\left\vert \dfrac{a_n}{P(z)}\right\vert^{1/n}\leq \dfrac{1}{n\cos(\psi)}\left\vert\dfrac{P'(z)}{P(z)}\right\vert=0,\] ce qui est absurde, le théorème de Gauss-Lucas suit.

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1. 1  \(\quad \left( a_1a_2\dots a_n\right)^{1/n}\leq \dfrac{a_1+a_2+\dots+a_n}{n}\) pour \(a_1\dots a_n\in\mathbb R_+\).