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Autour d’une ellipse
Problem of the week, spring 2006.
Dans une ellipse \(\mathscr E\) d’aire \(1\), on considère deux cordes parallèles respectivement aux deux axes de \(\mathscr E\). Ces deux cordes divisent l’ellipse en quatre régions, montrer qu’au moins deux regions ont une aire inférieure ou égale à \(1/4\).
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[ID: 3089] [Date de publication: 9 novembre 2022 23:17] [Catégorie(s): En cours... ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Patrice Lassère ]Solution(s)
Solution(s)
Autour d’une ellipse
Par Patrice Lassère le 9 novembre 2022 23:17
Par Patrice Lassère le 9 novembre 2022 23:17
Sans perdre de généralité,
supposons que les deux cordes se coupent dans le premier cadran (fermé)
; si on rajoute les deux axes de \(\mathscr
E\) et les deux cordes symétriques déduites des deux premières
par une symétrie de centre \(O\) le
centre de \(\mathscr E\) on obtient
\(16\) régions dont les aires sont
désignées par les lettres \(A,B,C,D\)
(voir la figure, certaines bien entendu, pouvant être d’aire nulle si
une corde est confondu avec un axe). Il déja clair que \(B\leq 1/4\), nous allons montrer que la
somme des aires des deux régions grisées est inférieure ou égale à \(1/2\). En effet, elle vaut \((B+2C)+(B+2D)\) et comme \(4(A+B+C+D)=\text{Aire}(\mathscr
E)=1\) on aura \[(B+2C)+(B+2D)=2(B+C+D)=\dfrac{1}{2}(1-4A)\leq
\dfrac{1}{4}.\] Ainsi, une des deux quantités \(B+2C,\ B+2D\) est inférieure à \(1/4\) ce qui achève la démonstration (les
deux domaines seront \((B)\) et \((B,C,C,B)\) ou \((B,D,D,B))\).
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