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[ID: 3089] [Date de publication: 9 novembre 2022 23:17] [Catégorie(s): En cours... ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Patrice Lassère ]

Solution(s)

Solution(s)

Autour d’une ellipse
Par Patrice Lassère le 9 novembre 2022 23:17

Sans perdre de généralité, supposons que les deux cordes se coupent dans le premier cadran (fermé) ; si on rajoute les deux axes de \(\mathscr E\) et les deux cordes symétriques déduites des deux premières par une symétrie de centre \(O\) le centre de \(\mathscr E\) on obtient \(16\) régions dont les aires sont désignées par les lettres \(A,B,C,D\) (voir la figure, certaines bien entendu, pouvant être d’aire nulle si une corde est confondu avec un axe). Il déja clair que \(B\leq 1/4\), nous allons montrer que la somme des aires des deux régions grisées est inférieure ou égale à \(1/2\). En effet, elle vaut \((B+2C)+(B+2D)\) et comme \(4(A+B+C+D)=\text{Aire}(\mathscr E)=1\) on aura \[(B+2C)+(B+2D)=2(B+C+D)=\dfrac{1}{2}(1-4A)\leq \dfrac{1}{4}.\] Ainsi, une des deux quantités \(B+2C,\ B+2D\) est inférieure à \(1/4\) ce qui achève la démonstration (les deux domaines seront \((B)\) et \((B,C,C,B)\) ou \((B,D,D,B))\).