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[ID: 3085] [Date de publication: 9 novembre 2022 23:17] [Catégorie(s): En cours... ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Patrice Lassère ]

Solution(s)

Solution(s)

La courbe d’équation \(y=x^4+9x^3+\alpha x^2+9x+4\) admet-elle \(4\) points alignés ?
Par Patrice Lassère le 9 novembre 2022 23:17

\((\Rightarrow)\)Fixons nous \(\alpha\in\mathbb R\) et une droite \((D_{a,b})\) d’équation \(y=ax+b\). Le point \((x,y)\) appartient à \((C_\alpha)\cap(D_{a,b})\) si, et seulement si \[f_{a,b}(x):=x^4+9x^3+\alpha x^2+(9-a)x+4-b=0.\] Il s’agit donc de déterminer une condition sur \(\alpha\) pour que la fonction \(f_{a,b}\) admette \(4\) racines réelles distinctes. Si tel est le cas, le théorème de Rolle assure que \(f'_{a,b}\) admet \(3\) racines réelles distinctes et de même \(f''_{a,b}\) admet \(2\) racines réelles distinctes. Mais \(f''_{a,b}(x)=12x^2+54x+2\alpha\), son discriminant \(\Delta=54^2-96\alpha\) doit être strictement négatif, i.e. \(\alpha<243/8\).

\((\Leftarrow)\)Réciproquement, si \(\alpha<243/8\) et montrons qu’il existe \((a,b)\in\mathbb R^2\) tel que \(f_{a,b}\) admette \(4\) racines réelles distinctes.

\(\alpha<243/8\) assure que le discriminant de \(f''_{a,b}(x)=12x^2+54x+2\alpha\) est strictement négatif, \(f''_{a,b}\) admet donc deux racines réelles \(z_1<z_2\) et nécessairement \[\begin{aligned} &f'_{a,b}\ \ \text{est strictement croissante sur}\ \ ]-\infty,z_1] \\ &f'_{a,b}\ \ \text{est strictement décroissante sur}\ \ [z_1,z_2] \\ &f'_{a,b}\ \ \text{est strictement croissante sur}\ \ [z_2,+\infty[. \end{aligned}\] En particulier \(f'_{a,b}(z_1)>f'_{a,b}(z_2)\) et la constante \(a\) n’apparaissant que dans le terme constant de \(f'_{a,b}\), il est donc possible de choisir convenablement \(a\) de telle sorte (faites un dessin) que \[f'_{a,b}(z_1)>0\quad\text{et}\quad f'_{a,b}(z_2)<0.\] De plus, comme \(\lim_{+\infty}f'_{a,b}=+\infty\), \(\lim_{-\infty}f'_{a,b}=-\infty\) la fonction \(f'_{a,b}\) admet forcément trois racines réelles distinctes \(y_1<y_2<y_3\) et \[\begin{aligned} &f_{a,b}\ \ \text{est strictement décroissante sur}\ \ ]-\infty,y_1], \\ &f_{a,b}\ \ \text{est strictement croissante sur}\ \ [y_1,y_2], \\ &f_{a,b}\ \ \text{est strictement décroissante sur}\ \ [y_2,y_3[,\\ &f_{a,b}\ \ \text{est strictement décroissante sur}\ \ [y_3,+\infty[. \end{aligned}\] On va maintenant jouer sur \(b\) qui n’apparait que dans le coefficient constant de \(f_{a,b}\) sous la forme \(4-b\) : en d’autres termes, augmenter \(b\) revient a translater le graphe de \(f_{a,b}\) suivant la direction de l’axe des ordonnées. comme \(f_{a,b}(y_2)>f_{a,b}(y_1)>f_{a,b}(y_3)\) il suffit de choisir correctement \(b\in\mathbb R\) pour que \(f_{a,b}(y_2)>0,\ f_{a,b}(y_1)<0,\ f_{a,b}(y_3)<0\).