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[ID: 3079] [Date de publication: 9 novembre 2022 23:17] [Catégorie(s): En cours... ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Patrice Lassère ]

Solution(s)

Solution(s)

\(n(n^2+1)/2\) est valeur propre de toute matrice magique \(A\in M_n(\mathbb R)\).
Par Patrice Lassère le 9 novembre 2022 23:17

Soit \(A\in M_n(\mathbb R)\) une matrice magique¹. Désignons pâr \(s\) la somme des composantes d’une colonne de \(A\), si \(X=\!^t(1,\dots,1)\in\mathbb R^n\), comme \(A\) est magique \[AX=sX.\] La somme des \(n^2\) premiers entiers vaut \(n^2(n^2+1)/2\) et c’est la somme des \(n\) colonnes de \(A\) soit \(n^2(n^2+1)/2=ns\) et finalement \(s=n(n^2+1)/2\).

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1. 1  Une matrice est magique si les sommes des composantes de chacunes de ses lignes et de ses colonnes sont égales et si elle est à coefficients dans \(\{1,2,\dots,n^2\}\) tous ces entiers apparaissant exactement une fois dans \(A\).