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[ID: 3069] [Date de publication: 9 novembre 2022 23:17] [Catégorie(s): En cours... ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Patrice Lassère ]

Solution(s)

Solution(s)

Quelques applications de l’inégalité de Jensen
Par Patrice Lassère le 9 novembre 2022 23:17

1. La stricte convexité de l’application \(f\ :\ x\mapsto 1/x\) sur \(\mathbb R_+^\star\) implique avec \[\lambda_1= \lambda_2=\lambda_3=\dfrac{1}{3},\quad x_1=x-1, x_2=x,\ x_3=x+1\] que \[f(\lambda_1x_1+\lambda_2x_2+\lambda_3x_3)<\lambda_1f(x_1)+\lambda_2f(x_2)+\lambda_3f(x_3)\] soit \[\dfrac{1}{x}<\dfrac{1}{3(x-1)}+\dfrac{1}{3x}+\dfrac{1}{3(x+1)},\] (\(\star\)) est bien démontrée1.

   Pour l’application, supposons que la série harmonique converge, alors avec (\(\star\)) \[H:=\sum_{k=1}^\infty\dfrac{1}{k}=1+\left( \dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4}\right) +\left( \dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{7}\right)+\dots <1+\dfrac{3}{3}+\dfrac{3}{6}+\dfrac{3}{9}+\dots=1+H\] contradiction et la série harmonique est bien divergente.

2. Comme on le voit sur la figure tout tel polygône peut être considère comme un agglomérat de triangles isocèles admettant tous l’origine comme un des sommets et dont la réunion des aires est celle du polygône. L’aire achurée du triangle sur la figure vaut \(\frac{1}{2}\sin(\theta_1)\) et si on désigne par \(\theta_1,\dots,\theta_N\) les angles correspondants, l’aire du polygône sera \[A=\sum_{j=1}^N\dfrac{1}{2}\sin(\theta_j),\quad 0<\theta_j<\pi,\quad\sum_{j=1}^N\theta_j=2\pi.\] Par concavité de la fonction sinus sur \([0,\pi]\) nous avons avec Jensen \[A=\dfrac{1}{2}\sum_{j=1}^N \sin(\theta_j)\leq \dfrac{n}{2}\sin\left( \dfrac{1}{n}\sum_{j=1}^N \sin(\theta_j)\right)=\dfrac{n}{2}\sin\left( \dfrac{2\pi}{n}\right).\] Par stricte concavité de la fonction sinus sur \([0,\pi]\), le cas d’égalité dans la formule de Jensen assure qu’il y aura égalité dans la formule précédente si, et seulement si \(\theta_j=\frac{2\pi}{n}\), configuration qui correspond bien au cas d’un polygône régulier.

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1. 1  Il faut tout de même remarquer que c’est ici un luxe d’utiliser l’inégalité de Jensen, (\(\star\)) se démontre élémentairement comme suit : (\(\star\)) \(\ \Leftrightarrow \frac{1}{x-1}+\frac{1}{x+1}<\frac{2}{x}\Leftrightarrow x^2>x^2-1\) inégalité immédiate pour \(x>1\).

   Profitons-en pour signaler que cette inégalité et son application pour la divergence de la série harmonique sont attribuées au mathématicien Italien Pietro Mengoli (1625-1686).