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[ID: 3065] [Date de publication: 9 novembre 2022 23:17] [Catégorie(s): En cours... ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Patrice Lassère ]

Solution(s)

Solution(s)

\(\inf\left\lbrace \,\int_0^1\vert f'(x)-f(x)\vert dx,\ f\in\mathscr C^1([0,1],\mathbb R),\ f(0)=0,\ f(1)=1\,\right\rbrace=e^{-1}.\)
Par Patrice Lassère le 9 novembre 2022 23:17

- Si on remarque que \(f'(x)-f(x)=e^x\left( f(x)e^{-x}\right)'\), on peut alors écrire (puisque \(e^x\geq 1,\ \forall\,x\geq 0\)... ) \[\int_0^1\vert f'(x)-f(x)\vert dx=\int_0^1 e^x\left\vert \left( f(x)e^{-x}\right)'\right\vert dx\geq \int_0^1 \left( f(x)e^{-x}\right)'dx=\dfrac{1}{e}.\] Soit \[m\geq 1/e.\]

- Considérons maintenant pour \(0<a<1\) les applications \[f_a(x):=\begin{cases} \left( \dfrac{e^{a-1}}{a}\right) x\quad&\text{si}\quad x\in [0,a],\\ \ e^{x-1}\quad&\text{si}\quad x\in \,]a,1].\end{cases}\] On vérifie sans peine que \(f_a\in\mathscr C^1([0,1],\mathbb R)\) pour tout \(0<a<1\) et comme \[\int_0^1\vert f_a'(x)-f_a(x)\vert dx=e^{a-1}\left( 1-\dfrac{a}{2}\right)\] nous avons \[\dfrac{1}{e}\leq m\leq e^{a-1}\left( 1-\dfrac{a}{2}\right)\underset{a\to 0}{\longrightarrow} \dfrac{1}{e},\] et finalement \(\displaystyle\quad m=e^{-1}.\)