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[ID: 3063] [Date de publication: 9 novembre 2022 23:17] [Catégorie(s): En cours... ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Patrice Lassère ]

Solution(s)

Solution(s)

Étude des espaces \({\rm{vect}}\{ f^{(k)},\ k\in\mathbb N\}\) et \({\rm{vect}}\{x\mapsto f(x+a),\ a\in\mathbb R\}\)
Par Patrice Lassère le 9 novembre 2022 23:17

1. Il n’est pas difficile de démontrer que \(\mathscr D_f\) est de dimension finie si, et seulement si, il existe une suite \(\lambda_1,\dots,\lambda_d\) de nombres complexes tels que \[f^{(d)}+\lambda_d f^{(d-1)}+\dots+\lambda_1 f=0.\] \(f\) est donc solution d’une équation différentielle linéaire à coefficients constants dont la structure des solutions est parfaitement connue ([deswar], [monier]) \[f(t)=\sum_{j=1}^d P_j(t)e^{\lambda_j t},\ t\in\mathbb R\quad\text{où}\quad \lambda_j\in\mathbb C,\ P_j\in\mathbb C[X].\] Réciproquement, il est bien évident que pour de telles fonctions \(\mathscr D_f\) est de dimension finie.

2. \(\mathscr T_f\) étant engendré par les translations \(x\mapsto f_a(x)=f(x-a)\), admet, s’il est de dimension finie, une base de la forme \(f_{a_1},\dots,f_{a_d}\). Autrement dit, il existe des applications \(\varphi_1,\dots,\varphi_d\) de \(\mathbb R\) dans \(\mathbb C\) telles que \[\forall\,a\in\mathbb R,\quad f_a=\sum_{j=1}^d \varphi_j(a)f_{a_j}\] et il reste à montrer que ces applications ont la même régularité que \(f\). Pour cela, le lemme suivant est crutial

   Si \(E\) est un sous-espace vectoriel de dimension finie de \(\mathscr C^0(\mathbb R)\) il existe une base de \(E^\star\) de la forme \((\delta_{x_1},\dots,\delta_{x_d})\) (où \(\delta_x(f):=f(x)\) est la masse Dirac au point \(x\)). En outre, si \((f_1,\dots,f_d)\) est une base de \(E\) : \(\det((\delta_{x_j}(f_i)))_{ij}\neq 0.\)

   Preuve du lemme : Comme \(\dim(E^\star)=\dim(E)<\infty\) et que toute famille \((\delta_{x_1},\dots,\delta_{x_d})\) est libre dans \(E^\star\) dès que les réels \(x_i\) sont deux à deux distincts l’existence de telles bases est élémentaire. On vérifie alors sans peine que la matrice de passage \(P\) de la base de \(E\), \((g_1,\dots,g_d)\) duale de \((\delta_{x_1},\dots,\delta_{x_d})\) à la base \((f_1,\dots,f_d)\) est précisément la matrice \(((\delta_{x_j}(f_i)))_{ij}\) qui est donc de déterminant non nul.\(\blacksquare\)

   Ceci étant acquis, étant donné une base \((f_{a_1},\dots,f_{a_d})\) de \(\mathscr T_f\) et (c.f. le lemme) \((x_1,\dots,x_d)\) tels que la matrice \(A=((f_{a_i}(x_j)))\) soit inversible, nous avons \[\forall\,a\in\mathbb R,\quad f_a(x)=\sum_{i=1}^d \varphi_i(a) f_{a_i}(x){(\text{$\star$})}\] et en particulier \[f_a(x_j)=\sum_{i=1}^d \varphi_i(a) f_{a}(x_j)=\sum_{i=1}^d \varphi_i(a) \delta_{x_j}(f_a),\quad\forall\,j\in\{1,\dots,d\}.\] Matriciellement cette égalité s’écrit \[A\begin{pmatrix} \varphi_1(a)\\ \vdots \\ \varphi_d(a) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} f_{a_1}(a_1)&\dots&f_{a_1}(a_d)\\ \vdots& & \vdots \\ f_{a_d}(a_1)&\dots&f_{a_d}(a_d) \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \varphi_1(a)\\ \vdots \\ \varphi_d(a) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} f(a_1-a)\\ \vdots \\ f(a_d-a) \end{pmatrix}\] mais par le lemme précédent, \(A\) est inversible, si bien qu’en posant \(B=A^{-1}=((b_{ij}))\) le système linéaire précédent s’inverse pour donner \[\varphi_i(a)=\sum_{j=1}^d b_{ij}f(a_j-a),\quad 1\leq i\leq d.\] Ces égalités assurent que les applications \(\varphi_i\) sont au moins aussi régulières que \(f\).

3. Cette question maximise la précédente puisqu’il s’agit de montrer que les applications \(\varphi_j\) sont \(\mathscr C^\infty\) dès que \(f\) est continue (rien d’étonnant, tout va s’expliquer dans la dernière question). Pour cela, considérons1 une approximation de l’identité \((\theta_k)_k\). Les applications \(\theta_k\) étant à support compact, et \(f\) continue donc localement intégrable, l’application \(\theta_k\star f\) est bien définie, de classe \(\mathscr C^\infty\) et on vérifie facilement que \((\theta_k\star f)_a=\theta_k\star f_a\). En outre, la convolution étant linéaire \[(\theta_k\star f)_a=\theta_k\star f_a=\theta_k\star\left(\sum_{j=1}^d\varphi_j(a)f_{a_j}\right) =\sum_{j=1}^d\varphi_j(a)(\theta_k\star f_{a_j})=\sum_{j=1}^d\varphi_j(a)(\theta_k\star f)_{a_j}.{(\text{$\star$})}\] L’espace vectoriel \(\mathscr T_{\theta_k\star f}\) admet donc \(((\theta_k\star f)_{a_1},\dots,(\theta_k\star f)_{a_d})\) comme famille génératrice : il est donc de dimension finie. En outre, \((\theta_k)_k\) étant une approximation de l’identité, la matrice \(A_k=((\theta_k\star f_{a_i}(x_j)))_{ij}=((\delta_{x_j}\left(\theta_k\star f_{a_i}\right)))_{ij}\) converge vers la matrice inversible \(A=((f_{a_j}(x_i)))\). Par continuité du déterminant, il existe un entier \(k_0\) tel que \(A_k\in GL_d(\mathbb R),\ \forall\,k\geq k_0\). La linéarité des masses de Dirac \(\delta_{x_j}\) implique alors que la famille \(((\theta_{k_0}\star f)_{a_1},\dots,(\theta_{k_0}\star f)_{a_d})\) est aussi libre, c’est donc une base de \(\mathscr T_{\theta_{k_0}*f}\) et la formule (\(\star\)) implique alors que les coordonnées de \((\theta_{k_0}\star f)_a\) sont \(\varphi_1(a),\dots,\varphi_d(a)\) : il ne reste plus qu’à appliquer la question

4. à la fonction \((\theta_{k_0}\star f)_a\in\mathscr C^\infty(\mathbb R)\) pour pouvoir affirmer que \(\varphi_1,\dots,\varphi_d\) sont \(\mathscr C^\infty\) et conclure.

5. Soit \(f\in\mathscr C^0(\mathbb R)\) telle que \(\dim(\mathscr T_f)<\infty\). Avec (\(\star\)), nous avons \[\forall\,x\in\mathbb R,\quad f(x)=f_{-x}(0)=\sum_{j=1}^d\varphi_j(x)f_{a_j}(0)=\sum_{j=1}^d \varphi_j(-x)f(-a_j)\] et comme d’aprés la question précédente, les fonction \(\varphi_j\) sont \(\mathscr C^\infty\) il en découle immédiatement que \(f\) l’est aussi.

6. Il reste à établir \[\left( \dim\mathscr T_f=d<\infty\right) \Longleftrightarrow \left(\dim\mathscr D_f=d<\infty \right)\Longleftrightarrow\left( f(t)=\sum_{j=1}^d P_j(t)e^{\lambda_j t}\right).\] La seconde équivalence a fait l’objet de la première question. Supposons que \(\dim(\mathscr T_f)<\infty\), \(f\in\mathscr C^\infty(\mathbb R)\) et pour tout \(k\in\mathbb N\) \[(f^{(k)})_{-a}=(f_{-a})^{(k)}=\sum_{i=1}^d \varphi_i(-a)f_{x_i}^{(k)}= \sum_{i=1}^d \varphi_i(-a)(f^{(k)})_{x_i},\quad\forall\,a\in\mathbb R,\] en particulier, en évaluant \((f^{(k)})_{-a}\) à l’origine \[f^{(k)}(a)=(f^{(k)})_{-a}(0)=\sum_{i=1}^d \varphi_i(-a)f_{x_i}^{(k)}(0)= \sum_{i=1}^d \varphi_i(-a)(f^{(k)})(-a_i),\quad\forall\,a\in\mathbb R\] ce qui montre que toutes les dérivées de \(f\) sont dans l’espace vectoriel engendré par les fonctions \(a\mapsto \varphi_i(-a),\ 1\leq i\leq d\) : \(\mathscr D_f\) est donc de dimension finie.

   Réciproquement, si \(\dim(\mathscr D_f)<\infty\), on peut écrire \[f(x)=\sum_{i=1}^d P_i(x)e^{\lambda_i x}.\] Comme il est facile de vérifier que \[\forall\,g,h\in\mathscr C^0(\mathbb R),\ \alpha\in\mathbb C\quad :\quad \mathscr T_{g+h}\subset \mathscr T_g+\mathscr T_h,\quad \mathscr T_{\alpha h}\subset \mathscr T_h\] il en résulte que \(\dim(\mathscr T_g)<\infty\) et \(\dim(\mathscr T_h)<\infty\) impliquent que \(\dim(\mathscr T_{f+g})<\infty\) et \(\dim(\mathscr T_{\alpha h})<\infty\). Ainsi, vu la forme de \(f\), il est suffisant de montrer que \(\dim(\mathscr T_{x\mapsto x^n e^{\lambda x}})<\infty\) ce qui est immédiat. Q.E.D.

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1. [waint] : \(\theta_k\in\mathscr C^\infty(\mathbb R), \int_\mathbb R\theta_k(x)dx=1,\ \theta_k(x)=0\ \forall\,\vert x\vert\geq 1/k\) et \(\lim_k\theta_k\star f(x)=f(x)\) pour tout \(x\in\mathbb R\) et \(f\in L^1_{loc}(\mathbb R)\)...1