Exercice

Optimisation dans un triangle*

Publié le 9 novembre 2022 23:17

Par Patrice Lassère

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Optimisation dans un triangle

(APMO, 1990).

Dans triangle \(ABC\) où \(AB=1\), \(h\) désigne la mesure de la hauteur issue de \(C\) et \(f(h)\) le produit des trois hauteurs. Montrer que \(f\) est bornée et atteint sa borne supérieure. À quelle configuration de \(ABC\) cet extréma correspond-t-il ?

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[ID: 3059] [Date de publication: 9 novembre 2022 23:17] [Catégorie(s): En cours... ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Patrice Lassère ]

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Optimisation dans un triangle
Par Patrice Lassère le 9 novembre 2022 23:17

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Auteur(s)

Patrice Lassère

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Editeur(s)

Emmanuel Vieillard-Baron

Enseignant en CPGE PC*

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Sommaire

Catégorie(s)

Isométries rationnellles

Une fonction continue nulle part dérivable

Restes et sommes partielles de deux séries

Géométrie

L’inégalité Arithmético-Géométrique version améliorée via Taylor-Lagrange

Générer des permutation avec des urnes

Irrationalité de \(\sqrt{2}\)

\(\forall\,F\) fermé dans \(\mathbb R\), \(\exists\ f\in\mathscr C^\infty(\mathbb R)\ :\ F=f^{-1}(0)\).

\({\text{dist}}(a, \ker(T))\) où \(T\) est une forme linéaire continue.

\(\forall\,F\) fermé dans \(\mathbb R\), \(\exists\ f\in\mathscr C^\infty(\mathbb R)\ :\ F=f^{-1}(0)\). (part. 3)

Exercice 1329

Histoire dans un corps

Le lemme de Riemann-Lebesgue et l’inclusion \(\mathscr L^1([0,1])\subset c_{0}\).

Trois problèmes d’optimisation autour d’une droite et une parabole

Convergence faible dans \(\mathscr C^0(X)\)

Inégalité de Bernstein (2)

Une caractérisation de la convexité

Probabilités, géométrie

Séries de fourier et séries trigonométriques

Sur la topologie de la convergence simple

Un bien utile lemme de factorisation

Exemple d’une série trigonométrique qui n’est pas une série de Fourier

Nombre de points à coordonnées entières dans un disque, comportement au bord d’une série entière

optimisation, combinatoire

Étude des espaces \({\rm{vect}}\{ f^{(k)},\ k\in\mathbb N\}\) et \({\rm{vect}}\{x\mapsto f(x+a),\ a\in\mathbb R\}\)

\(\inf\left\lbrace \,\int_0^1\vert f'(x)-f(x)\vert dx,\ f\in\mathscr C^1([0,1],\mathbb R),\ f(0)=0,\ f(1)=1\,\right\rbrace=e^{-1}.\)

Études de quelques équations fonctionnelles

Quelques applications de l’inégalité de Jensen

Combinatoire : les nombres de Bell

Probabilités et formule de Taylor

Une suite dans \(\mathbb C[X_1,X_2,\dots,X_n]\) qui s’annule sur \(\mathbb C\)

Autour de la série harmonique

\(n(n^2+1)/2\) est valeur propre de toute matrice magique \(A\in M_n(\mathbb R)\).

Une base de deux Banach \(X\) et \(Y\) n’en est pas forcément une pour \(X\cap Y\)

Encore un peu de dénombrement

La courbe d’équation \(y=x^4+9x^3+\alpha x^2+9x+4\) admet-elle \(4\) points alignés ?

Un théorème d’Erdös sur les fonctions multiplicatives monotones

Autour d’une ellipse

Autour du théorème de Gauss-Lucas

Différentiabilité de \(M_n(\mathbb R)\ni M\mapsto (\text{tr}(M),\text{tr}(M^2),\dots,\text{tr}(M^n))\) et applications

Une inégalité...

Autour des ! universelles des fonctions continues

Accélération de la convergence vers la contante d’Euler

A la recherche des points isolés de \(\{\,A\in M_n(\mathbb C)\ :\ P(A)=0\,\},\ P\in\mathbb C[x]\)

Supplémentaires universels d’un espace de dimension finie

Partie entière de \(\sum_{k=1}^{10^9}k^{-2/3}\)

Le saviez vous ?

Analyse sur une ligne brisée

La formule de Stirling via la loi de Poisson

Preuve probabiliste du théorème d’approximation de Bernstein

Équicontinuité

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