Barre utilisateur

[ID: 3057] [Date de publication: 9 novembre 2022 23:17] [Catégorie(s): En cours... ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Patrice Lassère ]

Solution(s)

Solution(s)

Nombre de points à coordonnées entières dans un disque, comportement au bord d’une série entière
Par Patrice Lassère le 9 novembre 2022 23:17

1. À tout point \(p=(x,y)\in\mathbb Z^2\) associons \(C(p)\) le carré plein centré en \(p\) dont les cotés de longueur \(1\) sont paralléles aux axes. On vérifie facilement que si \(p\neq p'\in\mathbb Z^2\) alors l’aire de \(C(p)\cap C(p')\) est nulle. Posons alors : \[A(n)= \bigcup_{\underset{C(p)\subset D(n)}{p\in\mathbb Z^2}}C(p),\quad B(n)=\bigcup_{ {p\in\mathbb Z^2\cap D(n)}}C(p),\quad C(n)=\bigcup_{\underset{C(p)\cap D(n)\neq\emptyset}{p\in\mathbb Z^2}}C(p)\] Visiblement \(A(n)\subset B(n)\subset C(n)\), et par construction même, l’aire de \(B(n)\) est précisément \(p_n\). En outre comme \[D(n-2)\subset A(n)\subset B(n)\subset C(n)\subset D(n+2)\] (car \(2>\sqrt{2}\) ) nous pouvons écrire \[\pi(n-2)^2\leq p(n)\leq \pi (n+2)^2\] soit \(\quad p_n\underset{n\to\infty}{\sim}\pi n^2\).

   Maintenant, remarquons que dans \(D(n)\), les points à coordonnées entières sur les axes sont au plus \(4n=o(n^2)\) donc négligeables par rapport à \(p_n\) : on peut donc ignorer ces points, des arguments évidents de symétrie impliquent alors que \(\quad p_n^+\underset{n\to\infty}{\sim} p_n/4\)soit \(\quad p_n^+\underset{n\to\infty}{\sim}\dfrac{\pi n^2}{4}\).

2. Pour \(\vert t\vert<1\), nous avons (produit de Cauchy) \[\left( \sum_{n=0}^\infty t^{n^2}\right) \left( \sum_{n=0}^\infty t^{n^2}\right) = \sum_{k=0}^\infty\left(\sum_{\underset{l^2+m^2=k}{l,m\in\mathbb N}}t^{k} \right) =\sum_{k=0}^\infty q(k)t^{k}\] où \(q(k)\) désigne le nombre de couples \((l,m)\in\mathbb N^2\) tels que \(l^2+m^2=k\). Considérons alors l’application définie pour \(\vert t\vert<1\) par \[G(t)=\dfrac{1}{1-t}\left( \sum_{n=0}^\infty t^{n^2}\right)^2.\] Nous pouvons écrire \[\begin{aligned} G(t)&=\dfrac{1}{1-t} \left( \sum_{n=0}^\infty t^{n^2}\right) \left( \sum_{n=0}^\infty t^{n^2}\right) = \dfrac{1}{1-t} \left( \sum_{n=0}^\infty t^{n^2}\right)^2\\ &= \left( \sum_{n=0}^\infty t^n\right)\left( \sum_{k=0}^\infty q(k)t^{k}\right) \\ &= \sum_{d=0}^\infty \left( \sum_{k=0}^d q(k)\right) t^k\quad \text{(toujours par produit de Cauchy)}. \end{aligned}\] Maintenant, si l’on observe que \(\ \displaystyle\sum_{k=0}^dq(k)=p^+(\sqrt{d})\), on peut écrire \[G(t)= \sum_{k=0}^\infty p^+(\sqrt{k})t^k.\] D’aprés la première question \(\ p^+(\sqrt{d})\underset{n\to\infty}{\sim}\dfrac{\pi d}{4}\). Considérons alors pour \(\vert t\vert<1\) \[H(t):=\dfrac{\pi}{4}\sum_{n=0}^\infty(n+1)t^n=\dfrac{\pi}{4}\dfrac{1}{(1-t)^2}.\] Comme \[\lim_{n\to\infty}\dfrac{\pi n/4}{\pi(n+1)/4}=1,\] un théorème classique (ref....?) implique que \[\lim_{t\to 1_-}\dfrac{G(t)}{H(t)}=\lim_{t\to 1_-}\left( \dfrac{\pi}{4}\dfrac{1}{(1-t)^2}\right)^{-1} \left( \dfrac{1}{1-t} \left( \sum_{n=0}^\infty t^{n^2}\right)^2\right) =1\] soit encore \[\sum_{n=0}^\infty t^{n^2}\underset{t\to 1_-}{\sim}\dfrac{\sqrt{\pi}}{2\sqrt{1-t}}.\] Q.E.D.

3. Commencer par calculer la limite lorsque \(x\) tends vers \(1_-\) et pour en déduire la limite en \(-1\) découper la somme en parties paire et impaires...