Soit \(\sum_{n\geq 1}\,a_n\sin(nt)\) une série trigonométrique où \(a_n\geq 0\ \forall\,n\geq 1.\)

  1. On suppose que cette série est une série de Fourier, c’est à dire qu’il existe \(f\in L_{loc}^1(\mathbb R)\) telle que \(c_n(f)=\int_0^{2\pi}f(t)e^{-int}dt\ \forall\,n\in\mathbb Z\) i.e. \(c_0(f)=0\) et, si \(n\geq 1 :\) \(c_n(f)={a_n\over 2i},\ c_{-n}(f)=-{a_n\over 2i}\). Soit \(F(t)=\int_0^t\,f(u)du\). Montrer que \(F\) est continue et \(2\pi\)-périodique sur \(\mathbb R\) et, pour \[\vert n\vert\geq 1\ :\ c_{\vert n\vert}(F)=-{a_{\vert n\vert}\over 2\vert n\vert}\]

  2. En déduire que \(\sum_{n\geq 1}{a_n\over n}\) converge.

  3. Montrer que la série trigonométrique partout convergente \(\sum_{n\geq 2}{\sin(nt)\over \log(n)}\) n’est pas une série de Fourier.


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[ID: 3055] [Date de publication: 9 novembre 2022 23:17] [Catégorie(s): En cours... ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Patrice Lassère ]




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Exemple d’une série trigonométrique qui n’est pas une série de Fourier
Par Patrice Lassère le 9 novembre 2022 23:17

La solution..........


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