Barre utilisateur

[ID: 3053] [Date de publication: 9 novembre 2022 23:17] [Catégorie(s): En cours... ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Patrice Lassère ]

Solution(s)

Solution(s)

Un bien utile lemme de factorisation
Par Patrice Lassère le 9 novembre 2022 23:17

1. L’hypothèse (\(\star\)) implique \[(\forall\,x,y\in E)(g(x)=g(y))\Longrightarrow(f(x)=f(y)).\] Ainsi, pour \(t=g(x)\in \text{im}(g)\), la formule \(h_1(t)=f(x)\) définit bien une application \(h_1\in\mathscr L(\text{im}(g),F)\) vérifiant \(f=h_1\circ g\) sur \(\text{im}(g)\) et le problème est déja résolu sur \(\text{im}(g)\). Pour construire une solution sur \(G\), on considére (puisque \(G\) est de dimension finie) un supplémentaire \(H\) de \(\text{im}(g)\) dans \(G\) et \(p\) la projection sur \(\text{im}(g)\) paralellement à \(H\) ; alors, \(h=h_1\circ p\) répond visiblement au problème.

2. Pour l’application en considèrant \(g=(f_1,\dots,f_n)\in\mathscr L(E,\mathbb K^n)\), on se retrouve dans la situation précédente avec \(F=\mathbb K\) et \(G=\mathbb K^n\) : il existe donc \(h\in\mathscr L(\mathbb C^n,\mathbb C)\) telle que \(f=h\circ g\). Mais la forme générale des éléments de \(\mathscr L(\mathbb K^n,\mathbb K)\) est bien connue : il existe \(c_1,\dots,c_n\in\mathbb K\) tels que \(h(z)=(z_1,\dots,z_n))=c_1z_1+\dots+c_nz_n\) d’où le résultat.

   Remarque : Ce dernier résultat est essentiel en analyse fonctionnelle (voir l’exercice précédent où la question ci-dessous) ; on trouvera aussi dans H.Brézis Analyse fonctionnelle Masson 19?? une démonstration trés amusante de ce résultat s’appuyant sur le théorème d’Hahn-Banach.

3. \(T\in\mathscr D'(\mathbb R^d)\) est à support compact, donc d’ordre fini : il existe une constante \(C>0\), un entier \(N\in\mathbb N\) tels que1 \[\vert\langle T,\varphi\rangle\vert\leq C\max_{n\in\mathbb N^d,\ \vert k\vert\leq N}\vert\varphi^{(k)}(0)\vert,\quad\forall\,\varphi\in\mathscr D(\mathbb R^d).\] Ainsi, la forme linéaire \(T\) s’annule au point \(\varphi\) dés que les formes linéaires \(\delta^{(k)}\ :\ \varphi\mapsto \langle \delta^{(k)},\varphi\rangle =(-1)^{\vert k\vert}\varphi^{(k)}(0),\ \vert k\vert\leq N\) s’annulent. Avec la question précédente, il existe des scalaires \(c_i\) tels que \[T=\sum_{\vert i\vert\leq N}c_i\, \delta^{(i)},\] Q.E.D.

---

1. rappel : si \(k=(k_1,\dots,k_d)\in\mathbb N^d\) on note \(\vert k\vert:= k_1+\dots+k_d\).↩︎