Soient \(X\) un ensemble, \((E,(\Vert.\Vert_i)_{i\in I})\) un espace localement convexe (e.l.c.). Sur l’ensemble \(\mathscr F(X,E)\) de toutes les applications de \(X\) dans \(E\), on considère la topologie d’e.l.c. définie par les semi-normes \[\Vert f\Vert_{i,x}=\Vert f(x)\Vert_i,\quad i\in I,\ x\in X.\]

  1. Montrer qu’une suite \((f_n)_n\subset\mathscr F(X,E)\) converge vers une application \(f\ :\ X\to E\) pour cette topologie si, et seulement si, elle converge simplement sur \(X\) vers \(f\). (On appelera donc topologie de la convergence simple cette topologie sur \(\mathscr F(X,E)\) que l’on désignera alors par \(\mathscr F_s(X,E)\)).

  2. Si \(E\) est séparé, montrer que \(\mathscr F_s(X,E)\) est séparé.

  3. Si \(E\) est métrisable et si \(E\neq\{0_E\}\), montrer que l’espace \(\mathscr F_s(X,E)\) est métrisable si, et seulement si, \(X\) est dénombrable.

  4. Si \(E\)est un espace de Fréchet (e.l.c. métrisable complet) et si \(X\) est dénombrable, montrer que \(\mathscr F_s(X,E)\) est un espace de Fréchet.

  5. Si \(E\) est un espace normé et si \(E\neq\{0_E\}\), montrer que l’espace \(\mathscr F_s(X,E)\) est normable si, et seulement si, \(X\) est fini.

  6. On suppose que \(E=\mathbb K (=\mathbb R\text{ où }\mathbb C)\) et on pose \(F=\mathscr F_s(X,\mathbb K)\).

    a)Si \(a\in\mathbb X\), montrer que la forme linéaire sur \(F\)\(\delta_a\ :\ f\mapsto f(a)\) est continue.

    b)Soit \(T\in F'\) une forme linéaire continue, montrer qu’il existe une partie finie \(A\subset X\) telle que \(T(f)=0\) dès que \(f\) est nulle sur \(A\).

    c)En déduire que les formes linéaires continues sur \(F\) sont de la forme \[T=\sum_{a\in A\in PF(X)}\ c_a\delta_a,\quad c_a\in\mathbb K.\]

  7. Un exemple.  On considère l’espace \(\mathbb K[[x]]\) des séries formelles à une indéterminée. Cet espace s’identifie de manière naturelle à \(\mathscr F(\mathbb N,\mathbb K)\) en associant à toute série formelle \(P=\sum_{n\in\mathbb N}a_n x^n\) la fonction \(n\mapsto a_n\). On peut donc définir sur l’espace \(\mathbb K[[x]]\) la topologie de la convergence simple, on le note alors \(\mathbb K_s[[x]]\).

    a)Montrer que l’espace \(\mathbb K_s[[x]]\) possède la propriété de Montel.

    b)Soit \(Q=\sum_{n=0}^N b_nx^n\) un polynôme. Montrer que l’application \[\mathbb K_s[[x]]\ni P\mapsto \langle P,Q\rangle = \sum_{n=0}^N a_nb_n\] est une forme linéaire continue sur \(\mathbb K_s[[x]]\) et que l’on obtient ainsi toutes les formes linéaires continues.

    c)Montrer que le sous-espace vectoriel \(\mathbb K[x]\) des polynômes est dense dans \(\mathbb K_s[[x]]\) et que les formes linéaires sur ce sous-espace s’écrivent \(P\mapsto \langle P,Q\rangle\) où \(Q\in\mathbb K[x]\). Si \(P\) est une série formelle qui n’est pas un polynôme, vérifier que la forme linéaire \(P\mapsto \langle P,Q\rangle\) sur l’espace \(\mathbb K[x]\) n’est pas continue.

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[ID: 3051] [Date de publication: 9 novembre 2022 23:16] [Catégorie(s): En cours... ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Patrice Lassère ]




Solution(s)

Solution(s)

Sur la topologie de la convergence simple
Par Patrice Lassère le 9 novembre 2022 23:17

  1. Une suite \((f_n)_n\) dans \(\mathscr F_s(X,E)\) converge vers \(0\) si, et seulement si \[\begin{aligned}f_n\underset{\mathscr F_s}{\longrightarrow}0&\quad \Leftrightarrow\quad\forall\,x\in X,\ \forall\,i\in I\ :\ \lim_n\Vert f_n\Vert_{i,x}=0 \\ &\quad \Leftrightarrow\quad \forall\,x\in I\ :\ \lim_n f_n(x)=0\ \text{ dans }E\\ &\quad \Leftrightarrow\quad (f_n)_n \text{ converge simplement vers }\ f\equiv 0\ \text{ sur } X. \end{aligned}\]

  2. Soit \(f\in \mathscr F(X,E)\), si \(f\) n’est pas identiquement nulle, il existe \(x\in X\) tel que \(f(x)\neq 0\) ; \(E\) étant séparé, il existe \(i\in I\) tel que \(\Vert f(x)\Vert_i\neq 0\). Il existe donc \(x\in X\) et \(i\in I\) tels que \(\Vert f\Vert_{i,x}\neq 0\) : l’espace \(\mathscr F_s(X,E)\) est bien séparé.

  3. -Si \(E=\{0\}\), \(\mathscr F_s(X,E)\) est métrisable quelquesoit \(X\).

    -Supposons \(E\) non réduit au vecteur nul et métrisable. Nous savons ([watop] théorème 3.4.6) que sa topologie peut être définie par une famille dénombrable de semi-normes \((\Vert.\Vert_i)_{i\in \mathbb N}\). Pour les mêmes raisons, si \(\mathscr T_s\) est métrisable elle est engendrée elle aussi par une famille dénombrable de semi-normes \((\Vert.\Vert_{i_k,x_l})_{(k,l)\in\mathbb N^2}\) ; mais si \(X\) n’est pas dénombrable, il existe \(a\not\in\{x_l,\ l\in\mathbb N\}\) et l’application \(f\in\mathscr F_s(X,E)\) définie par \[f(x)=\ \begin{cases} 0&\quad\text{si } x\neq a,\\ 1&\quad\text{si } x=e\end{cases}\] où \(e\in E\setminus\{0\}\) n’est pas identiquement nulle car \(f(a)=e\neq0\), mais elle vérifie \[\Vert f\Vert_{i_k,x_l}=0,\ \forall\,k,l\in\mathbb N.\] \(\mathscr T_s\) n’est donc pas séparée ce qui absurde (puisque par hypothèse métrisable) : \(X\) est donc dénombrable.

    -Si \(X\) est dénombrable, \(X=\{x_k\}_k\) la topologie \(\mathscr T_s\) sera engendrée par la famille de semi-normes \((\Vert.\Vert_{i_k,x_l})_{k,l}\) et sera séparée car \(E\) est séparé : elle est ([watop] théorème 3.4.6) métrisable.

  4. Aprés la question précédente il reste à montrer que \(\mathscr F_s(X,E)\) est complet. Soit donc une suite de Cauchy \((f_n)_n\) dans \(\mathscr F_s(X,E)\) \[\forall\,\varepsilon>0,\ \exists N_\varepsilon\ :\ \forall n,p\geq N_\varepsilon\quad \Vert f_n-f_p\Vert_{i,l}=\Vert f_n(x_l)-f_p(x_l)\Vert_i\leq \varepsilon,\quad\forall\,i,l\in\mathbb N.\] Autrement dit, la suite \((f_n(x_l))_n\) est pour tout entier \(l\in\mathbb N\) une suite de Cauchy dans \(E\) complet : elle est donc convergente et en notant \(f(x_l)\) sa limite, on a \(f_n\to f\) dans \(\mathscr F_s(X,E)\) qui est bien complet.

  5. Supposons \(\mathscr T_s\) normable et \(X\) infini. \(E\) étant aussi normé, un voisinage fondamental de l’origine dans \(\mathscr F_s(X,E)\) sera de la forme \[\bigcap_{j\in J} B_{x_j}(r_j)=\bigcap_{j\in J}\left\lbrace f\in \mathscr F_s(X,E) \ :\ \Vert f(x_j)\Vert\leq r_j\right\rbrace,\] où \(J\) est une partie finie de \(I\). Il est clair qu’un tel voisinage n’est pas borné (comme \(X\) est infini, il contient les droites vectorielles \(\mathbb Kf\) où \(f\in\mathscr F_s(X,E)\), \(f\neq 0\) et \(f_{/J}\equiv 0\)). \(\mathscr T_s\) est une topologie non localement bornée, donc non normable. Réciproquement, \(X\) fini et \(E\) normé impliquent \(\mathscr F_s(X,E)\) normable : si \(X=\{x_1,\dots,x_n\}\) on définit une norme sur \(\mathscr F(X,E)\) en posant \(N(f)=\max_{1\leq i\leq n}\Vert f(x_i)\Vert\) et la topologie associée à cette est norme coïncide avec \(\mathscr T_s\) ; pour s’en persuader on peut remarquer par exemple que \[\forall\,1\leq i\leq n\ :\quad \Vert f_i(x)\Vert\leq N(f)=\max_{1\leq i\leq n}\Vert f(x_i)\Vert\] assure que l’identité entre \((\mathscr F(X,E), \mathscr T_N)\) et \((\mathscr F(X,E),\mathscr T_s)\) est un isomorphisme topologique.

  6. a)Soit \(a\in X\) l’égalité \(\vert\delta_a(f)\vert=\vert f(a)\vert=p_a(f)\) garanti la continuité de \(\delta_a\).

    b) et c)Un résultat d’algèbre (exercice ??? ) linéaire assure que pour tout espace vectoriel \(E\), si des formes linéaires \(f,f_1,\dots,f_n\in E^\star\) vérifient \((f_i(x)=0,\ \forall\,i\in\{1,\dots,n\}) \Rightarrow (f(x)=0)\) alors il existe des constantes \(c_1,\dots,c_n\in\mathbb K\) telles que \(f=c_1f_1+\dots+c_nf_n\).

    Soit \(T\) une forme linéaire continue sur \(\mathscr F(X,E)\), il existe une partie finie \(A\subset X\) et une constante \(C>0\) telles que \[\forall\,\mathscr F(X,E)\ :\ \vert T(f)\vert\leq C\sup_{a\in A}p_a(f)=C\sup_{a\in A}\vert f(a)\vert=C\sup_{a\in A}\vert\delta_a(f)\vert.\] Ainsi, \((\delta_a(f)=0,\ \forall\,a\in A)\Rightarrow (T(f)=0)\) ; il ne reste plus qu’à invoquer le rappel d’algèbre linéaire précédent.

  7. a)Il faut montrer que les parties bornées sont relativement compactes. Soit \(B\subset\mathbb K[[x]]\) une partie bornée ; pour tout \(l\in\mathbb N\), il existe une constante \(C_l\) telle que \[p_l(P)=\vert a_l\vert\leq C_l,\quad \forall\,P=\sum_n a_nx^n\in B.\] Autrement dit, \[B\subset K:=\prod_{l\in\mathbb N}\{\vert z\vert\leq C_l\}\subset\mathbb K^{\mathbb N}\simeq \mathscr F_s(\mathbb N, \mathbb K)\] La topologie induite sur \(K\) par \(\mathscr F_s(\mathbb N, \mathbb K)\) est bien entedu la topologie produit : \(K\) est donc une partie compacte de \(\mathscr F_s(\mathbb N, \mathbb K)\) d’aprés le théorème de Tychonoff ([watop] théorème 2.32.5) et \(B\) est bien relativement compacte.

    b)

    c)

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