1. Soit \(f\in L^1([-\pi,\pi])\) une application \(2\pi\)-périodique. \((a_n)_n,(b_n)_n\) désignant ses coefficients de Fourier réels, montrer que pour tout \(x\in[0,2\pi]\) : \[\int_0^x\left( f(t)-\dfrac{a_0}{2}\right) dt=\sum_{n\geq 1}\dfrac{a_n\sin(nx)+b_n(1-\cos(nx))}{n}.\]

  2. Montrer que la série \(\sum_{n\geq 1}\dfrac{b_n}{n}\) converge.

  3. En déduire que la série trigonométrique \(\sum_{n\geq 2}\dfrac{\sin(nx)}{\log(n)}\) n’est la série de Fourier d’aucune fonction \(f\in L^1([-\pi,\pi])\).

  4. Soit \((a_n)_n\) une suite décroissante vers zéro vérifiant \[a_{n+1}\leq \dfrac{a_n+a_{n+2}}{2},\quad\forall\,n\in\mathbb N.\] Montrer que la série trigonométrique \(\dfrac{a_0}{2}+\sum_{n\geq 1}a_n\cos(nx)\) est la série de fourier d’une fonction \(f\in L^1([-\pi,\pi])\) positive.

  5. En déduire que la série trigonométrique \(\sum_{n\geq 2}\dfrac{\cos(nx)}{\log(n)}\) est la série de Fourier d’une telle fonction.

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[ID: 3049] [Date de publication: 9 novembre 2022 23:16] [Catégorie(s): En cours... ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Patrice Lassère ]




Solution(s)

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Séries de fourier et séries trigonométriques
Par Patrice Lassère le 9 novembre 2022 23:16

  1. Par périodicité \(f\) est intégrable sur \([0,2\pi]\) et par suite la fonction \(F(x)=\int_0^x(f(t)-\dfrac{a_0}{2})dt\) est à variation bornée sur \([0,2\pi]\) ; en outre, elle est \(2\pi\)-périodique et

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