([ney], exo. 1.8.3).

Soit \(f\in\mathscr C^0(\mathbb R,\mathbb R)\) vérifiant l’inégalité de la moyenne suivante \[f(x)\leq \dfrac{1}{2h}\int_{x-h}^{x+h}f(t)dt,\quad\forall\,x\in\mathbb R,\ h\in\mathbb R_+^\star.\] Montrer que

  1. Le maximum de \(f\) sur tout segment est atteint en une des extrémités.

  2. \(f\) est convexe.

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[ID: 3045] [Date de publication: 9 novembre 2022 23:16] [Catégorie(s): En cours... ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Patrice Lassère ]




Solution(s)

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Une caractérisation de la convexité
Par Patrice Lassère le 9 novembre 2022 23:16

1)Supposons qu’il existe un intervalle \([a,b]\subset\mathbb R\) sur lequel \(f\) n’atteint pas son maximum en les extrémités \(a\) et \(b\). Par continuité de \(f\) nous avons tout de même \[\sup_{x\in[a,b]}f(x)=f(c)\quad \text{avec}\quad a<c<b\] et il existe \(a<a_0<c<b_0<b\) tels que \[f(x)<f(c),\quad\forall x\in [a,a_0]\cup [b_0,b].\] à suivre.........

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