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[ID: 3043] [Date de publication: 9 novembre 2022 23:16] [Catégorie(s): En cours... ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Patrice Lassère ]

Solution(s)

Solution(s)

Inégalité de Bernstein (2)
Par Patrice Lassère le 9 novembre 2022 23:16

Un polynôme trigonométrique de degré au plus \(n\) peut s’écrire sous l’une ou l’autre des formes suivantes : \[\forall\,x\in\mathbb R\qquad f(x)=\sum_{k=0}^n(a_k\cos(kx)+b_k\sin(kx))=\sum_{k=-n}^{n}c_ke^{ikx}=e^{-inx}P(x)\] où \(P(X)=\sum_{k=-n}^{n}c_k X^{k+n}\) est un polynôme de degré au plus \(2n\).

1. Soit \(f\) un tel polynôme. Si \(f\) admet \(2n+1\) racines distinctes \(\theta_1,\theta_2,\dots\theta_{2n+1}\) dans \([0,2\pi[\), les \(2n+1\) nombres complexes distincts \(e^{i\theta_1},\dots,e^{i\theta_{2n+1}}\) sont racines du polynôme \(P\) quiest donc le polynôme nul et par suite \(f\) est la fonction nulle.

2. Le cas \(n=0\) est évident, nous supposerons \(n\geq 1\). Posons \[x_k= \dfrac{\pi}{2n}-\dfrac{k\pi}{n},\quad k=O,1,\dots,2n.\] Nous avons \[g(x_k)=\dfrac{(-1)^k}{n}\Vert f'\Vert-f(x_k)\] et l’hypothèse \(\Vert f'\Vert_\infty>n\Vert f\Vert\) assure que \(g(x_k)\) est du signe de \((-1)^k\). Par conséquent \(g\) s’annule sur chaque intervalle \(]x_k,x_{k+1}[\) ce qui donne \(2n\) zéros sur l’intervalle \([x_0,x_{0}+2_pi]\). La \(2\pi\)-périodicité permet d’affirmer que \(g\) s’annule également \(2n\) fois sur \([0,\pi[\).