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[ID: 3041] [Date de publication: 9 novembre 2022 23:16] [Catégorie(s): En cours... ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Patrice Lassère ]

Solution(s)

Solution(s)

Convergence faible dans \(\mathscr C^0(X)\)
Par Patrice Lassère le 9 novembre 2022 23:16

1. D’aprés le théorème de représentation de Riesz, le dual de \(\mathscr C^0(X)\) est l’ensemble des mesures boreliennes de masse totale finie sur \(X\) dont font partie les masses de Dirac \[\mathscr C^0(X)\ni f\ \longmapsto \int_X f\delta_x=f(x),\qquad\forall\,x\in X.\] Ainsi, toute suite \((f_n)_n\) faiblement convergente dans \(\mathscr C^0(X)\) vers \(f\) vérifie \[\forall\,x\in\mathbb X,\qquad \int_X f_n\delta_x=f_n(x)\underset{n\to\infty}{\longrightarrow}\int_X f\delta_x=f(x)\] i.e. \((f_n)_n\) est simplement convergente sur \(X\) vers \(f\).

   Comme dual de l’espace de Banach \(\mathscr C^0(X)\), \(\mathscr C^0(X)'\) est aussi un espace de Banach contenant les \(f_n\) (identifiées aux fonctionnelles \(\mathscr C^0(X)'\ni\mu\ \mapsto \int_Xf_n\mu\)). De l’inégalité \[\left\vert\int_X f_n \mu\right\vert\leq \vert\vert f_n\vert\vert_\infty\int_X \vert\mu\vert\] on tire \(\vert\vert\vert f_n\vert\vert\vert\leq\vert\vert f_n\vert\vert_\infty\) et comme cette inégalité est une égalité pour \(\mu=\delta_{x_n}\) où \(x_n\in X\) vérifie \(\vert f_n(x_n)\vert=\vert\vert f_n\vert\vert_\infty\) on a \[\vert\vert\vert f_n\vert\vert\vert\leq\vert\vert f_n\vert\vert_\infty.{(\text{$\star$})}\] En outre avec l’hypothèse de convergence faible la suite \((\langle f_n,\mu\rangle)_n\) est bornée (puisque convergente) : on peut donc appliquer le théorème de Banach-Steinhaus qui assure que la suite \((\vert\vert\vert f_n\vert\vert\vert)_n\) est elle même bornée ce qui, avec (\(\star\)) achève la première implication.

   Réciproquement, considèrons une suite \((f_n)_n\mathscr C^0(X)\) simplement convergente sur \(X\) vers \(f\) et uniformément bornée (disons par \(C>0\)). Comme \({\bf 1}_A\in L^1(X,\vert\mu\vert)\) pour toute mesure de Radon sur \(X\), on peut appliquer le théorème de la convergence dominée : \[\lim_{n\to\infty}\int_Xf_n\mu=\int_X f\mu,\qquad\forall\,\mu\in\mathscr C^0(X)'\] en d’autre termes, \((f_n)_n\) converge faiblement vers \(f\). CQFD.

2. L’existence de la suite \((\tilde{f_n})_n\) équivaut à montrer que \(f\) est dans l’adhérence de l’enveloppe convexe \(C\) des \(f_n\) lorsque \(f_n\rightharpoondown f\). La forme géométrique du théorème de Hahn-Banach nous dit qu’il est équivalent de montrer qu’aucune forme linéaire ne sépare \(f\) et \(C\) : \[\forall\,\varphi\in\mathscr C^0(X)',\quad \varphi(C)\leq\alpha\quad\Longrightarrow\quad\varphi(f)\geq\alpha.\] Soit \(\varphi\) une telle forme et \(\mu\) la mesure associée : \[\varphi(f)=\int_Xf\mu,\qquad f\in\mathscr C^0(X).\] Vu les hypothèses et la première question (ou par convergence dominée) \((f_n)_n\) converge faiblement vers \(f\), en particulier \[\varphi(f_n)\underset{n\to\infty}{\longrightarrow}\varphi(f)\] et comme \(\varphi(f_n)\geq \alpha\) on aura \(\varphi(f) \geq \alpha\) i.e. \(f\in\overline{C}^{\mathscr C^0(X)}\) i.e. il existe une suite \((\tilde{f_n})_n\subset C\) qui converge vers \(f\) dans \(\mathscr C^0(X)\) soit uniformément sur \(X\).