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[ID: 3039] [Date de publication: 9 novembre 2022 23:16] [Catégorie(s): En cours... ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Patrice Lassère ]

Solution(s)

Solution(s)

Trois problèmes d’optimisation autour d’une droite et une parabole
Par Patrice Lassère le 9 novembre 2022 23:16

1. Considérons un point \((x,x^2),\ (x>0)\) sur la parabole. La pente de la normale à \((\mathscr P)\) passant par \((x,x^2)\) vaut \(-1/2x\) ; si elle recoupe la parabole au point \((z,z^2)\) nous aurons donc \[\dfrac{z^2-x^2}{z-x}=-\dfrac{1}{2x}\] soit comme \(x>0\) : \[z=z(x)=-x-1/2x=-\dfrac{2x^2+1}{2x}.\] La formule pour la longueur d’un arc nous donne \[s(x)=u(x)-u(z(x)),\qquad \text{avec}\quad u(a)=\int_0^a\sqrt{1+4t^2}dt\] et il s’agit de minimiser \(x\mapsto s(x)\) sur \(\mathbb R_+^\star\). Avec le théorème fondamental du calcul intégral nous avons \[s'(x)=\sqrt{1+4x^2}-z'(x)\sqrt{1+4z^2(x)},\qquad x>0\] qui se réduit aprés quelques calculs algébriques à \[1-3x^2=0\] i.e. \(x=1/\sqrt{3}\) et \(x=-1/\sqrt{3}\) par symétrie.

2. Désignons par \(R(x)\) l’aire de la région bornée lorsque les coordonnées du point \(P\) sont \((x,x^2)\). Nous avons vu dans la question précédente que \(Q\) est associé au paramètre \(z(x)=-\frac{2x^2+1}{2x}\). Avec ceci, le périmètre est \[R(x)=\int_{z(x)}^x\sqrt{1+4t^2}dt+(x-z(x))\sqrt{1+(x+z(x))^2}\] Quelques manipulations algébriques sur \(R'(x)\) montrent que la (les) solution est racine du polynôme \[8x^3+4x^2-4x-1=0.\] Un logiciel de calcul nous donne \[x=\dfrac{\sqrt{7}}{3}\cos(\text{Arcos}(\sqrt{7}/14)/3)-\dfrac{1}{6}\simeq 0,62349..\] et \(-x\) par symétrie