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[ID: 3037] [Date de publication: 9 novembre 2022 23:16] [Catégorie(s): En cours... ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Patrice Lassère ]

Solution(s)

Solution(s)

Le lemme de Riemann-Lebesgue et l’inclusion \(\mathscr L^1([0,1])\subset c_{0}\).
Par Patrice Lassère le 9 novembre 2022 23:16

1. Par densité des polynômes trigonométriques \(\text{Vect}_{\mathbb C}\{e^{inx},\ n\in\mathbb Z\}\) dans \(\mathscr C(\mathbb R/\mathbb Z)\) (muni de la norme sup) et de \(\mathscr C^0([0,1])\) dans \(L^1([0,1])\) (muni de la norme \(L^1\)), il existe pour tout \(f\in L^1([0,1])\) deux applications \(g\in \mathscr C(\mathbb R/\mathbb Z)\) et \(h\in\text{Vect}_{\mathbb C}\{e^{inx},\ n\in\mathbb Z\}\) vérifiant \[\Vert f-g\Vert_1\leq\varepsilon\quad\text{et}\quad\Vert g-h\Vert_\infty\leq\varepsilon.\] Par l’inégalité triangulaire et domination de la norme \(L^1\) par la norme sup on a alors \(\Vert f-h\Vert_{1}<2\varepsilon\).

   \(h\) étant un polynôme trigonométrique, ses coefficients de Fourier sont nuls à partir d’un certain rang. Par orthogonalité, on a donc \[\vert\hat{f}(n)\vert=\left\vert\int_0^1(f(x)-h(x))e^{-2i\pi nx}dx\right\vert\leq\Vert f-h\Vert_{1}<2\varepsilon.\] \(\varepsilon>0\) étant arbitraire le lemme est établi.

2. On munit \(c_0\) de la norme \(\Vert (a_n)\Vert_{c_0}=\sup_{n\in\mathbb Z}\vert a_n\vert\), c’est (exercice facile) un espace de Banach et l’inégalité \[\vert\hat{f}(n)\vert=\left\vert\int_0^1 f(x)e^{-2i\pi nx}dx\right\vert\leq\Vert f\Vert_1,\quad\forall\,f\in L^1([0,1]),\ n\in\mathbb Z\] assure que l’opérateur \[\mathscr F\quad :\ L^1([0,1])\longrightarrow c_0\] est une forme linéaire continue de norme inférieure ou égale à \(1\) (et en fait égale à \(1\) en considérant \(f\equiv 1\)).

   -Nous allons maintenant vérifier que \(\mathscr F\) est injective : soit \(f\in L^1([0,1])\) vérifiant \(\hat{f}(n)=0\ \forall\,n\in\mathbb Z\) et montrons que \(f\equiv 0\).

   Il est déja clair que pour tout polynôme trigonométrique \(h\in\text{Vect}_{\mathbb C}\{e^{inx},\ n\in\mathbb Z\}\) \[\int_0^1f(x)h(x)dx=0,\] et par convergence dominée via la densité des polynômes trigonométriques ceci vaut pour toute fonction continue puis (par convergence dominée via Lusin..à détailler)) sur pour toute fonction indicatrice \(h\) d’ensemble mesurable ; le choix \(h:=\mathbf{1}_{\{f>0\}}\) donne \(\Vert f\Vert_1=0\), soit \(f=0\). \(\mathscr F\) est bien injective.

   -Si l’inclusion n’est pas stricte, \(\mathscr F\) est alors une application linéaire bijective continue entre les deux Banach \(L^1([0,1])\) et \(c_0\). Par le théorème de l’application ouverte \(\mathscr F\) est un isomorphisme topologique : il existe donc une constante \(C>0\) telle que \[\Vert \mathscr F(f)\Vert_{c_0}\geq C\Vert f\Vert_1,\qquad\forall\,f\in L^1([0,1]).{\text{($\star$)}}\] On considére alors pour tout \(N\in\mathbb N\) \[f_N(x)=\sum_{\vert n\vert\leq N}e^{-2i\pi nx},\] il est immédiat que \(\Vert \mathscr F(f_N)\Vert_{c_0}=1\) et \(\Vert f_N\Vert_1=2N+1\) contredisant (\(\star\)) lorsque \(N\) tends vers l’infini : l’inclusion \(\mathscr F(L^1([0,1]))\subset c_0\) est bien stricte.

   Remarques : -Donner l’autre preuve plus rapide de Riemann-Lebesgue via les distributions.

   -Comparer avec l’exercice............?