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[ID: 3035] [Date de publication: 9 novembre 2022 23:16] [Catégorie(s): En cours... ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Patrice Lassère ]

Solution(s)

Solution(s)

Histoire dans un corps
Par Patrice Lassère le 9 novembre 2022 23:16

Nous avons \[S:=a_1+a_2+\dots+a_{51},\quad b_1+b_2+\dots+b_{51}=50S\] soit, pour toute permutation \(b_1,b_2,\dots,b_{51}\) de \(a_1,a_2,\dots,a_{51}\) \[50S=S \quad\text{qui implique}\quad 49S=0.\]

Si \(\text{car}(\mathbb K)\neq 7\) alors \(49S=0\ \implies\ S=0\) puis \(b_i=-a_i\) pour tout \(1\leq i\leq 51\). D’un autre coté, il existe une permutation \(\sigma\in S_{51}\) telle que \(b_i=a_{\sigma(i)}=-a_i\). Si la caractéristique de \(\mathbb K\) est différente de \(2\), on peut alors construire une partition \(\{a_i,a_{\sigma(i)}\}_1^{51}\) de la suite \(a_1,a_2,\dots,a_{51}\), fait absurde puisque \(51\) est impair. La caractéristique de \(\mathbb K\) vaut donc \(2\) ou \(7\).

Les valeurs \(2\) et \(7\) sont toutes les deux possibles : pour \(\rm{car}(\mathbb K)=7\), \(x_1=x_2=\dots=x_{51}=1\) est un choix possible et pour le cas de \(2\), tout élément peut être choisi pour que \(S=0\) puisque \(b_i=a_i=-a_i\).