Soit \(\mathscr T\) la topologie sur \(\mathscr C([0,1])\) engendrée par le système de voisinages \[V_{F, f,\varepsilon}=\left\lbrace \,g\in\mathscr C([0,1])\ :\ \vert f(x)-g(x)\vert<\varepsilon,\ \forall\,x\in F\,\right\rbrace,\] où \(F\) est une partie finie non vide dans \([0,1]\), \(f\in\mathscr C([0,1]),\ \varepsilon>0\) (c’est la topologie de la convergence simple sur \([0,1]\) i.e. engendrée par la famille de semi-normes \((p_x)_{x\in[0,1]}\) avec \(p_x(f)=\vert f(x)\vert\)). On considère alors le sous-ensemble de \(\mathscr C([0,1])\) définit par \[\mathscr A=\left\lbrace\, f\in\mathscr C([0,1])\ :\ 0\leq f(x)\leq 1\ {\text{et}}\ \lambda(x\in[0,1]\ :\ f(x)=1)\geq 1/2\,\right\rbrace.\] (\(\lambda\) est la mesure de Lebesgue) Montrer que la fonction identiquement nulle \(0\) est adhérente à \(\mathscr A\) bien qu’il n’existe pas de suite \((f_n)_n\subset\mathscr A\) qui converge vers \(0\) dans \((\mathscr C([0,1]),\,\mathscr T)\).

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[ID: 3033] [Date de publication: 9 novembre 2022 23:12] [Catégorie(s): Analyse fonctionnelle ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Patrice Lassère ]




Solution(s)

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Topologie de la convergence simple : points adhérents et suites
Par Patrice Lassère le 9 novembre 2022 23:12

Il est clair que \(\lim_n f_n=f\) dans \((\mathscr C([0,1]),\,\mathscr T)\) si et seulement si, \((f_n)_n\) converge simplement vers \(f\) sur \([0,1]\). Pour montrer que la fonction nulle \(f=0\in\overline{\mathscr A}\) il faut montrer que tout voisinage de \(f\) \[V_{F,\varepsilon}=\left\lbrace \,g\in\mathscr C([0,1])\ :\ \vert g(x)\vert<\varepsilon,\ \forall\,x\in F\,\right\rbrace,\] rencontre \(\mathscr A\) ce qui est évident car étant donnés \(F\subset [0,1]\) fini et \(\varepsilon>0\), il est facile de construire une fonction \(g\in\mathscr C([0,1])\) affine par morceaux qui soit nulle sur \(F\) et égale à \(1\) sur une reunion disjointe d’intervalles \(I_1,\dots, I_p\) de longueur \(1/2\).

Toutefois, s’il existais une suite \((f_n)_n\) dans \(\mathscr A\) qui converge vers \(f\) alors elle convergerai simplement vers \(f\) sur \([0,1]\) et par convergence dominée (car \(0\leq f_n\leq 1\)) on aurai \[0=\int_0^1\,f(t)dt=\int_0^1\lim_n f_n(t)dt=\lim_n\int_0^1f_n(t)dt\geq 1/2\] ce qui est absurde. CQFD

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