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[ID: 3031] [Date de publication: 9 novembre 2022 23:12] [Catégorie(s): Analyse fonctionnelle ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Patrice Lassère ]

Solution(s)

Solution(s)

Une permutation qui conserve les séries convergentes
Par Patrice Lassère le 9 novembre 2022 23:12

1. On munit l’espace \(\mathscr S\) des suites \((a_k)_0^\infty\) de nombres réels telles que la série \(\sum_k a_k\) converge de la norme \[N(\textbf{a})=\sup_{n\geq 0}\left\vert\sum_{k=0}^\infty a_k\right\vert.\] \((\mathscr S,N)\) est (classique) un espace de Banach.

2. Les formes linéaires \[\begin{aligned}&U_n\ &:&\quad \mathscr S\ni\textbf{a} \mapsto U_n(\textbf{a})=\sum_{k=0}^n a_k,\\ &T_n\ &:&\quad \mathscr S\ni\textbf{a} \mapsto T_n(\textbf{a})=a_n,\\ &T\ &:&\quad \mathscr S\ni\textbf{a} \mapsto T(\textbf{a})=\sum_{k=0}^\infty a_k. \end{aligned}\] sont continues. Les inégalités \(\vert U_n(\textbf{a})\vert\leq N(\textbf{a})\) assurent la continuité des \(U_n\), comme \(T_0=U_0,\ T_n=U_{n}-U_{n-1}, (n\geq 1)\) les formes \(T_n\) sont aussi continues ; enfin \(T\) est continue puisque par exemple \(\vert T(\textbf{a})\vert\leq 2N(\textbf{a})\) (on peut aussi invoquer le théorème de Banach-Steinhaus puisque \(T(\textbf{a})=\lim_n U_n(\textbf{a}), \forall\,\textbf{a}\in\mathscr S\)).

3. L’application linéaire \(T_\pi\ :\ \mathscr S\ni\textbf{a}\mapsto T_\pi(\textbf{a})=(a_{\pi(k)})_k\) est continue.

   Pour cela on applique le théorème du graphe fermé : soit \((\textbf{a}^n)_n\) une suite convergente dans \(\mathscr S\) de limite \(\textbf{a}=(a_k)_k\) telle que \(\lim_nT_\pi(\textbf{a}^n)=\textbf{b}=(b_k)_k\) dans \(\mathscr S\). Notons \(\textbf{a}^n=(a^n_k)_k\). Par continuité de \(U_k\) \[\lim_n U_k(T_\pi(\textbf{a}^n))=U_k(\textbf{b})=b_k,\quad\forall\,k\in\mathbb N\] mais \[U_k(T_\pi(\textbf{a}^n))=a^n_{\pi(k)},\ \text{on a donc aussi}\ \lim_nU_k(T_\pi(\textbf{a}^n))=\lim_k a^n_{\pi(k)}=a_{\pi(k)}\] puisque \(\lim_n\textbf{a}^n=\textbf{a}\), finalement \(b_k=a_{\pi(k)},\ \forall k\in\mathbb N\), soit \(T_\pi(\textbf{a})=\textbf{b}\) : \(T_\pi\) est bien continue.

4. Vu ce qui précède \(T\circ T_\pi-T\) est une forme linéaire continue sur \(\mathscr S\) avec \((T\circ T_\pi-T)(\textbf{a})=\sum_k a_{\pi(k)}-\sum_k a_k\). Il ne reste plus qu’à remarquer que pour toute suite \(\textbf{a}\in\mathscr S\) nulle à partir d’un certain rang \((T\circ T_\pi-T)(\textbf{a})=0\) et comme l’ensemble de ces suites est dense dans \(\mathscr S\) par continuité \(T\circ T_\pi-T\equiv 0\) i.e. \[\sum_{k=0}^\infty a_{\pi(k)}=\sum_{k=0}^\infty a_k,\quad\forall\,\textbf{a}\in\mathscr S.\] C.Q.F.D.