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Soit \((f_n)_n\) une suite de fonctions dans \(\mathscr C^1([0,1])\) telle que

\(\rightsquigarrow\)\((f_n)_n\) converge uniformément vers \(0\) sur \([0,1]\).

\(\rightsquigarrow\)\((f'_n)_n\) ne converge pas uniformément vers \(0\) sur \([0,1]\).

Montrer qu’il existe une fonction \(g\not\in\mathscr C^1([0,1])\) qui est limite uniforme de combinaisons linéaire (finies..) des \(f_n\).

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[ID: 3029] [Date de publication: 9 novembre 2022 23:12] [Catégorie(s): Analyse fonctionnelle ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Patrice Lassère ]

Solution(s)

Encore une application du théorème du graphe fermé
Par Patrice Lassère le 9 novembre 2022 23:12

On équipe \(\mathscr C^0([0,1])\) de la norme sup, c’est un espace de Banach. Soit \(X\) l’adhérence de \(\rm{vect}\{\,f_n,\ n\in\mathbb N\}\) dans \(\mathscr C^0([0,1])\). On suppose par l’absurde que \(X\subset\mathscr C^1([0,1])\) ; par un théorème de Weierstrass de L2, le graphe de l’opérateur de dérivation entre les espaces de Banach \(X\) et \(\mathscr C^0([0,1])\) est fermé : il est donc continu par le théorème du graphe fermé. Mais dans ce cas \((f_n)_n\) converge uniformément vers \(0\) sur \([0,1]\) implique que \((f'_n)_n\) converge uniformément vers \(0\) sur \([0,1]\) ce qui est contraire à l’hypothèse.

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