Barre utilisateur

[ID: 3027] [Date de publication: 9 novembre 2022 23:12] [Catégorie(s): Analyse fonctionnelle ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Patrice Lassère ]

Solution(s)

Solution(s)

Séparabilité de \(l^p(\mathbb N),\ 1\leq p\leq\infty\)
Par Patrice Lassère le 9 novembre 2022 23:12

Posons pour tout \(j\in\mathbb N\) : \(E_j:=(\delta_i^j)_j\in l^p(\mathbb N)\) (où \(\delta_i^j\) est le symbôle de Kronecker). Soit \(X=(x_i)_i\in l^p(\mathbb N)\), alors puisque \(p<\infty\) on a \[\Vert X-\sum_{i=0}^n x_i E_i\Vert_p=\left(\sum_{i=n+1}^\infty\vert x_i\vert^p\right)^{1/p}\underset{n\to\infty}{\longrightarrow}0\] comme reste d’une série convergente. La famille \((E_j)_j\) est donc totale dans \(l^p(\mathbb N)\) qui est donc bien (considérer comme toujours \(\rm{vect}_\mathbb Q\{E_j,\ j_in\mathbb N\}\)) séparable.

Montrons par l’absurde¹ que \(l^\infty(\mathbb N)\) n’est pas séparable, supposons donc qu’il existe dans \(l^\infty(\mathbb N)\) une suite dense \((X_n)_n\). Soient \(A\in\mathscr P(\mathbb N),\ \chi_A\,:\ \mathbb N\to\{0,1\}\) la fonction indicatrice de \(A\) et \(E_A:=(\chi_A(i))_i\in l^\infty(\mathbb N)\). Par densité de \((X_n)_n\) dans \(l^\infty(\mathbb N)\) il existe \(n=n(A)\in \mathbb N\) tel que \(\Vert X_n-E_A\Vert_\infty<1/2\) et désignons par \(n_A\) le plus petit entier vérifiant cette propriété. Nous venons de construire une application \(\phi\,:\ \mathscr P(\mathbb N)\ni A\mapsto \phi(A)=n_A\) et cette application est injective car si \(n=n_A=n_B\) \[\left(\,\Vert E_n-E_A\Vert_\infty<1/2\quad \&\quad\Vert E_n-E_A\Vert_\infty<1/2\right)\Longrightarrow \left(\Vert E_A-E_B\Vert_\infty<1\right)\] qui implique immédiatement \(E_A=E_B\) soit \(\phi(A)=n_A=n_B=\phi(B)\) : \(\phi\) est bien injective. En résumé, la séparabilité de \(l^\infty(\mathbb N)\) permet de construire une injection de \(\mathscr P(\mathbb N)\) dans \(\mathbb N\) ce qui est absurde (Bernstein), d’où le résultat.

---

1. Avez vous remarqué pourquoi la preuve précédente ne marche plus si \(p=\infty\) ?↩︎