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[ID: 3025] [Date de publication: 9 novembre 2022 23:12] [Catégorie(s): Analyse fonctionnelle ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Patrice Lassère ]

Solution(s)

Solution(s)

Séparabilité de \(L^p(\Omega),\ 1\leq p\leq\infty\)
Par Patrice Lassère le 9 novembre 2022 23:12

Désignons par \((Q_i)_{i\in\mathbb N}\) la famille (dénombrable) de tous les pavés ouverts de \(\Omega\) de la forme \(Q=]a_1,b_1[\times\dots]a_n,b_n[\subset\Omega\) avec \(a_i,b_i\in\mathbb Q\) et soit \(\mathscr E\) le \(\mathbb Q\)-espace vectoriel engendré par la famille des fonctions indicatrices \((\chi_{Q_i})_i\). \(\mathscr E\) est une partie dénombrable de \(L^p(\Omega)\) et on va montrer que \(\mathscr E\) est dense \(L^p(\Omega)\).

Soit \(f\in L^p(\Omega)\). L’espace \(\mathscr C_c(\Omega)\) des fonctions continues à support compact dans \(\Omega\) est notoirement dense dans \(L^p(\Omega)\) ([waint], ???) ; étant donné \(\varepsilon>0\), il existe donc \(g_\varepsilon\in\mathscr C_c(\Omega)\) vérifiant \(\Vert f-g_\varepsilon\Vert_{L^p}\leq \varepsilon\). Considérons maintenant un ouvert borné \(\Omega'\) vérifiant \(\rm{supp}(g)\subset\Omega'\subset\Omega\). Il n’est alors pas difficile de construire une application \(h\in\mathscr C_c(\Omega)\) vérifiant \(\rm{supp}(h)\subset\Omega'\) et \(\vert h(x)-g(x)\vert\leq \varepsilon/\lambda(\Omega)^{1/p},\ \forall\,x\in\Omega'\) (utiliser la continuité uniforme de \(g\) pour recouvrir le support de \(g\) par un nombre fini de pavés sur lesquels l’oscillation de \(g\) est \(\vert\leq \varepsilon/\lambda(\Omega)^{1/p}\)...). Avec ce choix \(\Vert g-h\Vert_{L^p}\leq \varepsilon\) et finalement \(\Vert g-h\Vert_{L^p}\leq \varepsilon\).

Soient \(a\in\Omega\), \(0<r_a<\rm{dist}(a,\mathbb R^d\setminus\Omega),\ f_a=\chi_{B(a,r_a)}\) et enfin la boule ouverte \(\mathscr O_a=\{ f\in\mathscr L^\infty(\Omega)\ :\ \Vert f-f_a\Vert<1/2\}\). La famille \((\mathscr O_a)_{a\in\Omega}\) est une famille non dénombrable d’ouverts non vides de \(L^\infty(\Omega)\) deux à deux disjoints : en effet sinon, considérons \(a\neq b\) deux points de \(\Omega\), et, sans perdre de généralité \(x\in B(a,r_a)\setminus B(b,r_b)\ r>0\) tels que \(B(x,r)\subset B(a,r_a)\setminus B(b,r_b)\); supposons qu’il existe \(f\in \mathscr O_a\cap\mathscr O_b\) alors \[\begin{aligned} -1/2< f(y)-\chi_{B(a,r_a)}(y)<1/2&\quad\text{presque partout sur}\ B(x,r)\\ -1/2< f(y)-\chi_{B(b,r_b)}(y)<1/2&\quad\text{presque partout sur}\ B(x,r), \end{aligned}\] il existe donc \(c\in B(x,r)\) tel que \[-1/2< f(c)-\chi_{B(a,r_a)}(c)<1/2\quad \text{et}\quad -1/2< f(c)-\chi_{B(a,r_a)}(c)<1/2\] soit \(1/2<f(c)<3/2\) et \(0<f(c)<1/2\) ce qui est absurde. Nous avons construit une suite non dénombrable d’ouverts deux à deux disjoints dans \(L^\infty(\Omega)\), il en résulte immédiatement que \(L^\infty(\Omega)\) ne peut être dénombrable (sinon, considérer une suite \((f_n)_n\) dense dans \(L^\infty(\Omega)\) et à tout \(a\in\Omega\) associer l’entier \({n(a)}\in\mathbb N\) défini comme le plus petit tel que \(f_{n(a)}\in\mathscr O_a\) par densité de \((f_n)_n\) l’application \(\Omega\ni a\mapsto n(a)\in\mathbb N\) est bien définie et les ouverts \(\mathscr O_a\) étant deux à deux disjoints, cette correspondance est bijective d’où la contradiction).