On munit l’espace vectoriel \(\mathbb R[x]\) de la norme \[\Vert P\Vert_1=\int_0^1\vert P(t)\vert dt,\quad P\in\mathbb R[x],\] et on considère la forme bilinéaire \(B\) définie par \[B(P,Q)=\int_0^1\,P(t)Q(t)dt,\quad P,Q\in\mathbb R[x].\]

  1. Montrer que \(B\) est une forme bilinéaire séparément continue sur \(\mathbb R[x]\times\mathbb R[x]\) muni de la topologie produit induite par la norme \(\Vert\cdot\Vert_1\) sur \(\mathbb R[x]\).

  2. Montrer que \(B\) n’est pas continue sur \(\mathbb R[x]\times\mathbb R[x]\).


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[ID: 3021] [Date de publication: 9 novembre 2022 23:12] [Catégorie(s): Analyse fonctionnelle ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Patrice Lassère ]




Solution(s)

Solution(s)

Une forme bilinéaire discontinue mais séparément continue
Par Patrice Lassère le 9 novembre 2022 23:12
  1. Il s’agit donc de montrer que pour tout \(P\in\mathbb R[x]\), l’application coordonnée \(B_P\ :\ \mathbb R[x]\to\mathbb R\) définie par \(B_P(Q)=B(P,Q)\) est continue (la continuité de l’autre application coordonnée \(P\mapsto B(P,Q)\) se déduit par symétrie). \(B_P\) est clairement linéaire et on a pour tout \(Q\in\mathbb R[x]\) \[\vert B_P(Q)\vert=\left\vert\int_0^1\,P(t)Q(t)dt\right\vert\leq\Vert P\Vert_\infty\int_0^1\vert Q(t)\vert dt=\Vert P\Vert_\infty\cdot\Vert Q\Vert_1.\] Cette inégalité assure la continuité de \(B_P\) (et montre aussi que la norme de \(B_P\) est inférieure ou égale à \(\Vert P\Vert_\infty\)).

  2. On va établir la non-continuité à l’origine de \(B\). Pour cela, considérons la suite de polynômes \((P_n)_{n\geq 1}\) définie par \(\ P_n(t)=n^{2/3}t^{n-1}\). Alors \[\Vert P_n\Vert_1=n^{2/3}\int_0^1 t^{n-1}dt=\dfrac{1}{n^{1/3}}\underset{n\to\infty}{\longrightarrow} 0.\] La suite \((P_n)\) converge donc vers \(0\) dans \((\mathbb R[x], \Vert\cdot\Vert_1)\) et par conséquent \((P_n,P_n)\underset{n\to\infty}{\longrightarrow}(0,0)\) dans \(\mathbb R[x]\times\mathbb R[x]\). D’un autre coté, toujours par un calcul élémentaire \[B(P_n,P_n)=\int_0^1\,P_n(t)^2dt=\dfrac{n^{4/3}}{2n-1} \underset{n\to\infty}{\longrightarrow}+\infty.\] Ainsi, \[B(P_n,P_n)\underset{n\to\infty}{\not\rightarrow}0=B(0,0).\] \(B\) est donc bien discontinue à l’origine de \(\mathbb R[x]\times\mathbb R[x]\) et donc partout par bilinéarité. Remarque : Toute application bilinéaire séparément continue \(B\ :\ X\times X\to Y\)\(X\) et \(Y\) sont deux espaces de Fréchet est continue, c’est un corollaire classique du théorème de Banach-Steinhaus [watop] page ??. Il va sans dire que \(\mathbb R[x]\) admettant une base algèbrique n’a quel que soit le choix de la norme (ou de la famille de semi-normes), aucune chance d’être muni d’une structure d’espace de Banach (ou de Fréchet), c’est une conséquence immédiate du théorème de Baire.


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