Dans \(\mathbb R[x]\) on note \(\mathscr P_+\) (resp. \(\mathscr P_-\)) l’ensemble des polynômes donc le coefficient du terme dominant est strictement positif (resp. strictement négatif). Montrer que \(\mathscr P_+\) et \(\mathscr P_-\) sont deux convexes disjoints qui ne peuvent être sépares par un hyperplan.


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[ID: 3019] [Date de publication: 9 novembre 2022 23:12] [Catégorie(s): Analyse fonctionnelle ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Patrice Lassère ]




Solution(s)

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Deux convexes disjoints non séparables par un hyperplan
Par Patrice Lassère le 9 novembre 2022 23:12

\(\mathscr P_+\) et \(\mathscr P_-\) sont clairement convexes. Supposons qu’il existe un hyperplan \(\mathscr H=\{\,P\in\mathbb R[x]\ :\ \Phi(P)=c\}\)\(\Phi\) est une forme linéaire sur \(\mathbb R[x]\) et \(c\in\mathbb R\) tels que \(\mathscr P_+\subset\{\,\Phi>c\}\) et \(\mathscr P_-\subset\{\,\Phi<c\}\). On va montrer que \(\Phi\equiv 0\) ce qui nous fournira la contradiction désirée.

Soit \(n\in\mathbb N\). Comme \(x^n, x^{n+1}\) et \(x^{n+1}+tx^n,\ (t\in\mathbb R)\) appartiennent à \(\mathscr P_+\) nous avons \[\Phi(x^{n+1})>c,\ \Phi(x^n)>c\] et \[\Phi(tx^n+x^{n+1})=\Phi(x^{n+1})+t\Phi(x^n)>c,\quad\forall\,t\in\mathbb R.\] Cette dernière égalité ne peut avoir lieu pour tout réel \(t\) (faire tendre \(t\) vers \(-\infty\) si \(c>0\) et \(+\infty\) sinon) qu’à la condition \[\Phi(x^n)=0,\quad\forall\,n\in\mathbb N,\] et la forme \(\Phi\) est bien identiquement nulle.


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