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[ID: 3017] [Date de publication: 9 novembre 2022 23:12] [Catégorie(s): Analyse fonctionnelle ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Patrice Lassère ]

Solution(s)

Solution(s)

Quelques exemples de suites faiblement convergente dans \(L^2(\mathbb R)\)
Par Patrice Lassère le 9 novembre 2022 23:12

Remarque liminaire : Avec le théorème de représentation de Riesz \(L^2(\mathbb R)'\simeq L^2(\mathbb R)\) ; donc à toute forme linéaire continue \(T\in L^2(\mathbb R)'\) est associée un (unique) élément \(g\in L^2(\mathbb R)\) tel que \(T(f)=\langle g,f \rangle=\int_\mathbb R f(t)\overline{g(t)}dt\). Ainisi, pour établir la faible convergence vers \(0\) d’une suite \((g_n)_n\) il faut démontrer que \[\forall\,g\in L^2(\mathbb R)\ :\quad\int_\mathbb R \,g_n(t)\overline{g(t)}dt\underset{n\to\infty}{\longrightarrow}0.{\text{($\star$)}}\]

Soient \(\varepsilon>0\), \(g\in L^2(\mathbb R)\). Par densité1 de \(\mathscr C^\infty_0(\mathbb R)\) dans \(L^2(\mathbb R)\), il existe \(f_\varepsilon,\ g_\varepsilon\in\mathscr C^\infty_0(\mathbb R)\) vérifiant \[\Vert f-f_\varepsilon\Vert_2\leq\varepsilon,\quad \Vert g-g_\varepsilon\Vert_2\leq\varepsilon.\] On peut alors écrire \[\begin{aligned} \left\vert\int_\mathbb R\, \,g_n(t)\overline{g(t)}dt\right\vert&=\left\vert\int_\mathbb R\, f(t-n)\overline{g(t)}dt\right\vert\\ &\leq \left\vert\int_\mathbb R\,\overline{g(t)}\left(f(t-n)-f_\varepsilon(t-n)\right) dt\right\vert + \left\vert\int_\mathbb R\left(\overline{g(t)}-\overline{g_\varepsilon(t)}\right) f_\varepsilon(t-n)dt\right\vert\\ &\hspace{4cm} +\left\vert\int_\mathbb R\overline{g_\varepsilon(t)}f_\varepsilon(t-n)dt\right\vert\\ &\leq \Vert g\Vert_2 \cdot\Vert f-f_\varepsilon\Vert_2+\Vert g-g_\varepsilon\Vert_2\cdot \Vert f_\varepsilon\Vert_2+\left\vert\int_\mathbb R\overline{g_\varepsilon(t)}f_\varepsilon(t-n)dt\right\vert. \end{aligned}\] Pour obtenir la dernière inégalité, nous avons appliqué deux fois l’inégalité de Cauchy-Schwarz ainsi que l’invariance par translation de la mesure de Lebesgue pour l’égalité \(\int_\mathbb R\vert f_\varepsilon (t-n)\vert^2dt=\Vert f_\varepsilon\Vert_2^2\).

Maintenant on peut choisir \(n\in\mathbb N\) assez grand (disons \(n\geq n_\varepsilon\)) pour que l’intersection des supports de \(g_\varepsilon\) et \(t\mapsto f_\varepsilon(t-n)\) soit vide (c’est classique : le support de \(g_\varepsilon\) est compact, donc inclu dans un intervalle \([a,b]\) et celui de \(f_\varepsilon\) dans un intervalle \([c,d]\) ; alors, celui de \(t\mapsto f_\varepsilon(t-n)\) sera inclu dans \([c+n,d+n]\) et ne rencontrera pas \([a,b]\) pour \(n\) assez grand). Ainsi, pour \(n\geq n_\varepsilon\) le dernier terme dans la dernière inégalité sera nul, i.e. \[\begin{aligned} \left\vert\int_\mathbb R\, \,g_n(t)\overline{g(t)}dt\right\vert &\leq \Vert g\Vert_2 \cdot\Vert f-f_\varepsilon\Vert_2+\Vert g-g_\varepsilon\Vert_2\cdot \Vert f_\varepsilon\Vert_2\\ & \leq \varepsilon\Vert g\Vert_2+\varepsilon\Vert f_\varepsilon\Vert_2\\ & \leq\varepsilon\Vert g\Vert_2+\varepsilon(\varepsilon+\Vert f\Vert_2):=C\cdot\varepsilon, \quad\forall\,n\geq n_\varepsilon. \end{aligned}\] Où dans la dernière inégalité on a utilisé l’inégalité \(\Vert f_\varepsilon\Vert_2\leq \Vert f-f_\varepsilon\Vert_2+\Vert f\Vert_2\leq \varepsilon+\Vert f\Vert_2\). Les applications \(f,g\) étant arbitraires mais fixés, \(\varepsilon>0\) étant quelconque, (\(\star\)) est vérifiée et la suite \((g_n)_n\) converge faiblement vers \(0\) dans \(L^2(\mathbb R)\).

Pour la seconde suite la procèdure est identique et inutile à détailler, le dernier terme dans l’inégalité tendant vers \(0\) avec \(n\) aprés un calcul direct : \[\left\vert\int_\mathbb R\overline{g_\varepsilon(t)} \dfrac{1}{\sqrt{n}}f_\varepsilon\left(\dfrac{t}{n}\right)dt\right\vert \leq\dfrac{1}{\sqrt{n}}\Vert f_\varepsilon\Vert_\infty\int_\mathbb R\,\vert g_\varepsilon(t)\vert dt\underset{n\to\infty}{\longrightarrow}0.\]

Pour la troisième, on se ramène à la première via la tranformée de Fourier qui est une isométrie de \(L^2(\mathbb R)\) : \[\langle g,k_n\rangle=\langle \widehat{g},\widehat{k_n}\rangle,\] et la formule élémentaire \[\widehat k_n(t)=\widehat{f}(t-n).\]

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