1. Démontrer l’existence d’une forme linéaire continue \(L\) sur \(l^\infty(\mathbb N)\) vérifiant \[\left(\, u=(u_n)_n\in\,l^\infty(\mathbb N)\ \text{et}\ \lim_n u_n=l\in\mathbb R\right)\ \Longrightarrow\ L(u)=l.\]

  2. En déduire que \((l^\infty(\mathbb N))'\neq l^1(\mathbb N)\).

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[ID: 3015] [Date de publication: 9 novembre 2022 23:12] [Catégorie(s): Analyse fonctionnelle ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Patrice Lassère ]




Solution(s)

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Encore une preuve de \((l^\infty(\mathbb N))'\neq l^1(\mathbb N)\)
Par Patrice Lassère le 9 novembre 2022 23:12

  1. Considérons le sous-espace \(\mathscr C\) de \(l^\infty(\mathbb N)\) des suites convergentes. Sur \(\mathscr C\), la forme linéaire \(L\) qui à \(u=(u_n)_n\in\mathscr C\) associe \(L(u)=\lim_n u_n\) est une forme linéaire continue (de norme 1). Par Hahn-Banach, on peut prolonger \(L\) en une forme linéaire continue de norme 1 sur \(l^\infty(\mathbb N)\), c’est la limite de Banach et ce prolongement répond à la question.

  2. Supposons que \((l^\infty(\mathbb N))'= l^1(\mathbb N)\) avec la question précédente, il existerai \(\alpha=(\alpha_n)_n\in l^1(\mathbb N)\) tel que \[L(u)=\sum_{n\geq 0}\, \alpha_n u_n,\quad\forall\,n\in\mathbb N.\] Mais en appliquant cette formule aux suite \(\delta_k=(\delta^k_n)_n\in l^\infty(\mathbb N)\) on obtient \(\alpha_k=0,\ \forall\,k\in \mathbb N\), soit \(L\equiv 0\) ce qui est absurde.

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