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[ID: 3013] [Date de publication: 9 novembre 2022 23:12] [Catégorie(s): Analyse fonctionnelle ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Patrice Lassère ]

Solution(s)

Solution(s)

\((\Vert 1_E-T\Vert<1,\ T\in\mathscr L(E))\Rightarrow(T\ {\text{inversible}})\ \) ?
Par Patrice Lassère le 9 novembre 2022 23:12

1. C’est tout à fait classique et la solution peut attendre...

2. Considèrons par exemple l’espace des polynômes \(E=\mathbb C[X]\) muni du produit scalaire \[\langle P,Q\rangle = \int_0^1 P(t)\overline{Q(t)}dt,\quad P,Q\in \mathbb C[X],\] et l’opérateur \(T\ :\ \mathbb C[X]\to\mathbb C[X]\) défini par \[T(P)=\left( 1-\dfrac{x}{2}\right) P(x),\quad P\in\mathbb C[X].\] On a \[((1-T)(P))(x)=\dfrac{x}{2}P(x),\] de telle sorte que \[\Vert (1-T)(P)\Vert^2 = \dfrac{1}{4}\int_0^1 t^2\left\vert P(t)\right\vert^2dt\leq \dfrac{1}{4}\int_0^1 \left\vert P(t)\right\vert^2dt=\dfrac{1}{4}\Vert P\Vert^2,\] soit \[\Vert 1-T\Vert\leq \dfrac{1}{2}<1.\] D’un autre coté, \(T\) n’est pas inversible car par exemple, le polynôme constant \(1\not\in {\rm{im}}(T)\).

   : Sur ce sujet, on pourra consulter Geometric series in incomplete normed algebras, R.Fuster & A.Marquina [amm], 1984/1.