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Soit \(E=c_{00}\) l’espace vectoriel des suites \(x=(x_k)_k\in\mathbb C^\mathbb N\) nulles a partir d’un certain rang et muni de la norme \[\Vert x\Vert=\sup_{k\in\mathbb N}\vert x_k\vert.\]

Montrer que pour tout \(n\in\mathbb N\) les applications linéaires \(T_n\in\mathscr L(E)\) définies par \[T_n(x)=(0,x_1,2x_2,3x_3,\dots,nx_n,0,0,\dots),\] sont continues.
Montrer que pour tout \(x\in c_{00}\) la suite \((T_n(x))_n\) est convergente dans \(E\).
Montrer que la suite \((T_n)_n\) n’est pas uniformément bornée sur \(c_{00}\).
Pourquoi néanmoins le théorème de Banach-Steinhaus n’est pas contredit ?

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[ID: 3011] [Date de publication: 9 novembre 2022 23:12] [Catégorie(s): Analyse fonctionnelle ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Patrice Lassère ]

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Aux limites du théorème de Banach-Steinhaus
Par Patrice Lassère le 9 novembre 2022 23:12

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Exercice 1329

\(L^2([0,1])\) est maigre dans \(L^1([0,1])\)

Une bijection linéaire continue dont l’application réciproque est discontinue

Étude d’un opérateur sur \(L^2([0,1])\)

Un espace vectoriel topologique non localement convexe

Densité de \(\text{vect}\{ \ x\mapsto\frac{1}{ (x-a_n)},\ n\geq 1\}\) dans \(\mathscr C^0([0,1])\)

Normes et formes linéaires continues

L’inclusion \(\mathscr F(L^1(\mathbb R))\subset C_0(\mathbb R)\) est stricte

Image de \(L^2(\mathbb R)\setminus L^1(\mathbb R)\) par la tranformée de Fourier

Forme faible du théorème de Müntz

Sous-espaces de \(\mathscr C([0,1])\) fermés dans \(L^2([0,1]\))

Opérateur de dérivation

\((\Vert 1_E-T\Vert<1,\ T\in\mathscr L(E))\Rightarrow(T\ {\text{inversible}})\ \) ?

Encore une preuve de \((l^\infty(\mathbb N))'\neq l^1(\mathbb N)\)

Quelques exemples de suites faiblement convergente dans \(L^2(\mathbb R)\)

Deux convexes disjoints non séparables par un hyperplan

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Pourquoi la topologie produit ?

Séparabilité de \(L^p(\Omega),\ 1\leq p\leq\infty\)

Séparabilité de \(l^p(\mathbb N),\ 1\leq p\leq\infty\)

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