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[ID: 3009] [Date de publication: 9 novembre 2022 23:12] [Catégorie(s): Analyse fonctionnelle ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Patrice Lassère ]

Solution(s)

Solution(s)

Opérateur de dérivation
Par Patrice Lassère le 9 novembre 2022 23:12

Si un tel \(T\) existe, alors

\[\ker(T^2)=\ker (D),\]

mais \(\ker(D)\) est l’ensemble des fonctions constantes, il est donc de dimension \(1\) et par suite \(\dim\ker(T^2)=1\) et \(T\) n’est pas injectif, donc

\[\{0\}\subsetneqq\ker(T)\subset\ker(T^2).\]

\(\ker(T^2)\) étant de dimension \(1\), la seule alternative est \(\ker(T)=\ker(T^2)\), qui implique aussitôt \[\ker(T^p)=\ker(T),\,\forall p\in\mathbb N^\star\] et en particulier

\[\ker(D^2)=\ker(T^4)=\ker(T^2)=\ker(D),\]

cependant \[\ker(D^2)=\{f\in\mathscr C^\infty(\mathbb R)\ :\ f''=0\}\] est l’ensemble des fonction affines, donc de dimension \(2\) : tout ceci est donc absurde et un tel opérateur ne peut exister.