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Forme faible du théorème de Müntz
Soit \((\lambda_n)_n\) une suite strictement croissante de réels positifs vérifiant
\[\begin{cases} \lambda_0=0\\ \lim_{n\to\infty} \lambda_n=+\infty,\\ \sum_{n\geq 1}\lambda_n^{-1}=+\infty.\end{cases}\]
On considère \(E=\text{vect}\{x^{\lambda_k},\ k\in\mathbb N\}\) le sous espace vectoriel de \(\mathscr C^0([0,1])\), l’objectif est ici de montrer le théorème de Müntz : sous ces hypothèses, \(E\) est dense dans \(\mathscr C^0([0,1])\) pour la topologie de la convergence uniforme sur \([0,1]\).
Pour cela, à tout \(m\in\mathbb N^\star\) distinct de tous les \(\lambda_n,\ n\geq 1\) on associe la suite \((R_n)_n\)
dans \(\mathscr C^0([0,1])\) définie par :
\[\begin{cases} R_0(x)=x^m,\ x\in[0,1]\\ R_n(x)=(\lambda_n-m)x^{\lambda_n}\int_x^1R_{n-1}(t)t^ {-1-\lambda_n}dt,\quad n\geq 1,\ x\in[0,1]. \end{cases}\]
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[ID: 3005] [Date de publication: 9 novembre 2022 23:12] [Catégorie(s): Analyse fonctionnelle ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Patrice Lassère ]Solution(s)
Solution(s)
Forme faible du théorème de Müntz
Par Patrice Lassère le 9 novembre 2022 23:12
Par Patrice Lassère le 9 novembre 2022 23:12
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