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[ID: 3003] [Date de publication: 9 novembre 2022 23:12] [Catégorie(s): Analyse fonctionnelle ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Patrice Lassère ]

Solution(s)

Solution(s)

Image de \(L^2(\mathbb R)\setminus L^1(\mathbb R)\) par la tranformée de Fourier
Par Patrice Lassère le 9 novembre 2022 23:12

-La transformée de Fourier est un isomorphisme (topologique) de \(L^2(\mathbb R)\). \(f\) répondra donc au problème, si et seulement si \(\mathscr F(f)\in L^2(\mathbb R)\cap L^1(\mathbb R)\) et \(\mathscr F(f)\not\in\mathscr F(L^1(\mathbb R))\). En particulier, ceci va se produire pour toute fonction \(f\in L^2(\mathbb R)\) vérifiant \(\mathscr F(f)\in(L^1(\mathbb R))\) mais \(\mathscr F(f)\not\in C_0(\mathbb R)\).

-Pour exhiber un tel objet, considérons une fonction \[g\in\left( L^2(\mathbb R)\cap L^1(\mathbb R)\right) \setminus C_0(\mathbb R)\] et soit \(f\) la transformée de Fourier inverse de \(g\) (prendre \(f=\mathscr F(g)\) marchera aussi puisque \(\mathscr F(f)(t)=g(-t)\)). Par exemple soit \(g(t)=\chi_{[-1,1]}(t)\) la fonction indicatrice de l’intervalle \([-1,1]\), on a \[f(x)=\mathscr F^{-1}(g)(x)=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{\mathbb R}g(t)e^{itx}dt= \dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-1}^1e^{itx}dt=\sqrt{\dfrac{2}{\pi}}\dfrac{\sin(x)}{x}.\] La formule d’inversion de Fourier dans \(L^2(\mathbb R)\) implique que \(\mathscr F(f)=g\) qui est dans \(L^1(\mathbb R)\) comme désiré ; on vérifie facilement que \(f\not\in L^1(\mathbb R)\) ou plus simplement que \(\mathscr F(f)=g\) n’est pas continue.