Montrer que \[\mathscr F(L^1(\mathbb R))\subset C_0(\mathbb R)\] et que l’inclusion est stricte.

\(C_0(\mathbb R)\) désigne l’espace des fonctions continues sur \(\mathbb R\) et nulles à l’infini, \(L^1(\mathbb R)\) l’espace de Lebesgue des (classes) fonctions intégrables sur \(\mathbb R\). \(L^1(\mathbb R)\) est muni de la topologie associée à la norme \(\Vert f\Vert_1=\int_\mathbb R\vert f(t)\vert dt\) et \(C_0(\mathbb R)\) de celle associée à \(\Vert f\Vert_0=\sup_{x\in\mathbb R}\vert f(t)\vert\), ces deux espaces sont des Banach.


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[ID: 3001] [Date de publication: 9 novembre 2022 23:12] [Catégorie(s): Analyse fonctionnelle ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Patrice Lassère ]




Solution(s)

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L’inclusion \(\mathscr F(L^1(\mathbb R))\subset C_0(\mathbb R)\) est stricte
Par Patrice Lassère le 9 novembre 2022 23:12

Soit \(f\in L^1(\mathbb R)\), le Lemme de Riemman-Lebesgue1 assure que la tranformée de Fourier est un opérateur linéaire continu injectif de \(L^1(\mathbb R)\) dans \(C_0(\mathbb R)\) (la continuité est immédiate par convergence dominée) i.e. \[\mathscr F(L^1(\mathbb R))\subset C_0(\mathbb R).\]

Montrons que cette inclusion est stricte, (on peut aussi utiliser le théorème de l’application ouverte, nous le ferons peut être plus tard). Exhibons un élément de \(\mathscr F(L^1(\mathbb R))\setminus C_0(\mathbb R)\).

Soit \(f\in L^1(\mathbb R)\), la clef est de remarquer que si \(\mathscr F(f)\) est impaire il existe une constante \(C>0\) telle que \[\left\vert\int_1^b\dfrac{\mathscr F(f)(t)}{t}dt\right\vert\leq C,\quad\forall\,1<b<\infty.\] ceci résulte des deux faits élémentaires suivants : \[\begin{aligned} &\exists C>0\ :\ \left\vert\int_\alpha^\beta\dfrac{\sin(t)}{t}dt\right\vert\leq C,\quad\forall\,\alpha<\beta\\ &\mathscr F(f)(x)=-i\int_{\mathbb R}f(t)\sin(xt)dt. \end{aligned}\] et du théorème de Fubini.

Ainsi, pour exhiber un élément \(g\in C_0(\mathbb R)\setminus L^1(\mathbb R)\) il suffit de construire une fonction impaire \(g\in C_0(\mathbb R)\) telle que \(\int_1^b\frac{g(t)}{t}dt\) soit non borné lorsque \(b\) tends vers l’infini. Par exemple une fonction continue impaire égale à \(1/\log(x)\) pour \(x>2\) convient.


  1. 1  C.Wagschall, ....

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