Barre utilisateur

[ID: 2999] [Date de publication: 9 novembre 2022 23:12] [Catégorie(s): Analyse fonctionnelle ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Patrice Lassère ]

Solution(s)

Solution(s)

Normes et formes linéaires continues
Par Patrice Lassère le 9 novembre 2022 23:12

1. Il s’agit donc de montrer que dual algébrique \(E^\star\), et topologique \(E'\), coïncident. Il va de soit que \(E'\subset E^\star\) ; pour \(\varphi\in E^\star\) et pour une quelconque norme \(\Vert.\Vert\) sur \(E\) posons \[N(x):=\vert \varphi(x)\vert +\Vert x\Vert,\qquad\forall\,x\in E.\] On vérifie facilement que \(N\) est une norme sur \(E\) qui est donc équivalente à \(\Vert.\Vert\) : il existe en particulier une constante \(c>0\) telle que \[N(x)=\vert \varphi(x)\vert+\Vert x\Vert\leq c\Vert x\Vert,\quad\forall\,x\in E\] donc \[\left( \vert \varphi(x)\vert\leq (1-c)\Vert x\Vert,\quad\forall\,x\in E\right)\quad\Longrightarrow\quad \left(\varphi\in E' \right).\] (toutes les normes sur \(E\) étant équivalentes le dual topologique ne dépend pas du choix de la norme) d’où le résultat.

2. Vu la question précédente, il suffit de montrer que sur tout espace vectoriel de dimension infinie, il existe toujours des formes linéaires non continues. Soit \(E\) un tel espace et \(\{e_i\}_{i\in I}\) une base de \(E\) (il en existe toujours une avec l’axiome du choix). \(I\) est infini, et soit \((i_n)_{n\in\mathbb N}\subset I\) une partie stricte dénombrable. Pour une norme \(\Vert.\Vert\) sur \(E\) la forme linéaire définie sur \(\{e_i\}_{i\in I}\) (et donc sur \(E\)) par \[\forall\,i\in I\quad :\quad f(e_i)=\begin{cases} n\Vert e_{i_n}\Vert\quad &\text{si}\quad i=i_n,\\ 0\quad &\text{sinon}. \end{cases}\] est visiblement discontinue sur \(E\). Ainsi, sur tout espace vectoriel normé de dimension infinie on peut construire une forme linéaire non continue, et par suite un espace vectoriel sur lequel toutes les normes sont équivalentes est forcément de dimension finie.