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[ID: 2997] [Date de publication: 9 novembre 2022 23:12] [Catégorie(s): Analyse fonctionnelle ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Patrice Lassère ]

Solution(s)

Solution(s)

Densité de \(\text{vect}\{ \ x\mapsto\frac{1}{ (x-a_n)},\ n\geq 1\}\) dans \(\mathscr C^0([0,1])\)
Par Patrice Lassère le 9 novembre 2022 23:12

\(\mathscr C^0([0,1])\) est muni de la topologie de la convergence uniforme sur \([0,1]\). Avec un corollaire du théorème de Hahn-Banach [watop], il suffit de montrer que toute forme linéaire continue \(T\in\mathscr C^0([0,1])'\) nulle sur \(V\) est identiquement nulle. Considérons donc une telle forme \(T\). Posons pour \(k\in\mathbb N\), \(g_k(x)=x^k\) alors pour tout entier \(n\in\mathbb N\) la série de fonction \(\sum_{k=0}^\infty\frac{g_k(x)}{a_n^k}\) est normalement convergente sur \([0,1]\) vers \(-a_nf_{a_n}\). Par continuité de \(T\) sur \(\mathscr C^0([0,1])\) nous avons \[0=T(-a_nf_n)=T\left( \sum_{k=0}^\infty\dfrac{g_k(x)}{a_n^k}\right) =\sum_{k=0}^\infty\dfrac{T(g_k)}{a_n^k},\] soit \[\forall\,n\in\mathbb N\quad:\quad\dfrac{g_k(x)}{a_n^k} =0.{(1)}\] Par continuité de \(T\) nous avons aussi \[\Vert T(g_k)\Vert\leq \Vert T\Vert.\Vert g_k\Vert=\Vert T\Vert,\quad\forall\,k\in\mathbb N.{(2)}\] La formule \((2)\) assure que la série entière \[f(z)=\sum_{n\geq 0}T(g_k)z^k\] possède un rayon de convergence supérieur ou égal à \(1\) : \(f\) donc est holomorphe sur le disque \(D(0,1)\). Mais vu \((1)\) \[\left( \quad \sum_{k=0}^\infty\dfrac{T(g_k)}{a_n^k}=0,\quad\forall\,n\in\mathbb N\quad\right) \quad\Longleftrightarrow\quad\left( f\left( a_n^{-1}\right) =0,\quad\forall\,n\in\mathbb N\right) .\] Or, vu les hypothèses, la suite \((a_n^{-1})_n\subset D(0,1)\) converge vers \(0\) : par le théorème des zéros isolés, \(f \equiv0\) ce qui entraine \(T(g_k)=0,\ \forall\,k\in\mathbb N\) et donc \(T\equiv0\) sur \(\mathbb R[X]\). Ainsi, toute forme linéaire continue nulle sur \(V\) est nulle sur \(\mathbb R[X]\) ; par transitivité de la densité et le théorème de Weierstrass une telle forme est donc identiquement nulle. C.Q.F.D. Remarque : De manière analogue, on peut montrer le résultat suivant : Soit \((\alpha_k)_k\subset] -1,1[\) une suite convergeant vers \(0\) alors les suites \((\alpha^n_k)_k,\ (n\in\mathbb N),\) engendrent un sous-espace dense dans \(l^p(\mathbb N),\ (\forall\,p\geq 1).\)