Pour \(0<p<1\), on considère l’espace \(L^p([0,1])\) des classes de fonctions mesurables \(f\ :\ [0,1]\to\mathbb R\) telle que \[\int_0^1 \vert f(t)\vert^pdt<\infty.\] Montrer que \(L^p([0,1])\) est un sous-espace vectoriel des classes de fonctions mesurables.

On pose alors pour \(f,g\in L^p([0,1])\) \(\displaystyle d(f,g)=\int_0^1\vert f(t)-g(t)\vert ^p dt\).

Montrer que \(d\) est une distance invariante par translation sur \(L^p([0,1])\) et que cette distance définit une topologie d’e.v.t.

Soient \(f\in L^p([0,1]),\ \varepsilon>0\), montrer qu’il existe un entier \(n\geq 1\), des fonctions \(f_1,\dots,f_n\) dans \(L^p([0,1])\) telles que \[d(f_i,0)\leq\varepsilon\quad\&\quad f=\dfrac{f_1+\dots+f_n}{n}.\]

En déduire que le seul voisinage convexe de l’origine dans \(L^p([0,1])\) est \(L^p([0,1])\), que \(L^p([0,1])'=\{0\}\) (dual topologique) ; et enfin que \(L^p([0,1])\) n’est pas un espace vectoriel topologique localement convexe.

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[ID: 2995] [Date de publication: 9 novembre 2022 23:12] [Catégorie(s): Analyse fonctionnelle ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Patrice Lassère ]




Solution(s)

Solution(s)

Un espace vectoriel topologique non localement convexe
Par Patrice Lassère le 9 novembre 2022 23:12

  1.  &
    item L’inégalité de Minkowsky \((a+b)^p\leq a^p+b^p\) valable pour \(a,b\in\mathbb R_+\) si \(p\in]0,1[\) nous assure que \(L^p([0,1])\) est un sous-espace vectoriel et que \(d\) vérifie l’inégalité triangulaire. Les autres propriétés sont évidentes et \(\left( L^p([0,1]),d\right)\) est un espace métrique. En raisonnant comme dans le cas \(p\geq 1\) on peut même montrer qu’il est complet.

  2. Soit \(f\in L^p([0,1])\) et \(n\geq 1\), la continuité de \(\ x\mapsto\int_0^x\vert f(t)\vert^pdt\) et le théorème des valeurs intermédiaires assurent l’existence d’une partition \(x_0=0<x_1<\dots<x_n=1\) de \([0,1]\) vérifiant \[\int_{x_{i-1}}^{x_i}\vert f(t)\vert^pdt=\dfrac{\delta(f)}{n},\quad\forall\ 1\leq i\leq n\] où \(\delta(f)=\int_0^1\vert f(t)\vert^pdt\). Ainsi \(f_i:=nf \chi_{[x_{i-1},x_i]}\in L^p([0,1])\) et \(f=\frac{1}{n}(f_1+\dots+f_n)\). De plus par construction \(\delta(f_i)=n^{p-1}\delta(f)\) ; il suffit alors de choisir \(n\) assez grand pour que \(n^{p-1}\delta(f)\leq\varepsilon\).

  3. Soit \(V\) un voisinage convexe de l’origine dans \(L^p([0,1])\). Il existe \(\varepsilon>0\) tel que \(B(0,\varepsilon)\subset V\). Soit \(f\in L^p([0,1])\), vu la question précédente, il existe \(f_1,\dots,f_n\in L^p([0,1])\) vérifiant \(\delta(f_i)<\varepsilon\) i.e. \(f_i\in B(0,\varepsilon)\subset V\) et finalement \(f\in V\) puisque \(V\) est convexe. \(L^p([0,1])\) est donc le seul voisinage convexe de l’origine. \(L^p([0,1])\) est bien le seul voisinage convexe de l’origine, ce n’est n’est donc pas un espace de Fréchet. Soit \(\varphi\in L^p([0,1])'\) et \(\mathscr B\) une base de voisinages convexes de \(0_{\mathbb K}\), \(\forall B\in\mathscr B\ :\ \varphi^{-1}(B)\) est un voisinage ouvert convexe de l’origine dans \(L^p([0,1])\) i.e. \(\varphi^{-1}(B)=L^p([0,1])\) soit \(\forall B\in\mathscr B\ :\ \varphi(L^p([0,1]))\subset B\ \Longrightarrow \varphi\equiv 0\), soit \(L^p([0,1])'=\{0\}\). (remarquer que le même raisonnement vaut pour \(\mathscr L_c(L^p([0,1]), E)\) où \(E\) est un evtlc...).

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