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[ID: 2993] [Date de publication: 9 novembre 2022 23:11] [Catégorie(s): Analyse fonctionnelle ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Patrice Lassère ]

Solution(s)

Solution(s)

Étude d’un opérateur sur \(L^2([0,1])\)
Par Patrice Lassère le 9 novembre 2022 23:12

La fonction \(t\mapsto e^{-i\pi t}f(t)\) est intégrable sur \([0,1]\) (car \(L^2([0,1])\subset L^1([0,1])\) par Cauchy-Schwarz) donc \(x\mapsto\int_0^x \,e^{-i\pi t}f(t)dt\) et \(x\mapsto\int_x^1 \,e^{-i\pi t}f(t)dt\) sont continues sur \([0,1]\) et par suite \(T(f)\).

La linéarité est évidente. Nous avons pour tout \(f\in L^2([0,1])\) et \(x\in[0,1]\) \[\vert T(f)(x)\vert\leq \left\vert\int_0^x \,e^{-i\pi t}f(t)dt\right\vert+ \left\vert\int_x^1 \,e^{-i\pi t}f(t)dt\right\vert\leq \int_0^x\vert f(t)\vert dt+\int_x^1\vert f(t)\vert dt=\Vert f\Vert_{L^1}\leq \Vert f\Vert_{L^2}.\] (la dernière inégalité est Cauchy-Schwarz) Ainsi \[\Vert T(f)\Vert_{L^2}=\left( \int_0^1\vert T(f)(t)\vert^2 dt\right)^{1/2}\leq \left( \int_0^1\Vert f\Vert_{L^2}^2 dt\right)^{1/2}=\Vert f\Vert_{L^2}\] \(T\) est donc un endomorphisme continu de \(L^2([0,1])\) de norme \(\leq 1\).

Soit \((f_n)_n\) une suite dans la boule unité de \(L^2([0,1])\) faiblement convergente vers \(f\) dans \(L^2([0,1])\). L’inégalité \(\vert T(f)(x)\vert\leq \Vert f\Vert_{L^2}\) établie dans la question précédente assure que les formes linéaires sur \(L^2([0,1])\) définies par \(f\mapsto T(f)(x)\) sont continues ; la suite \((f_n)_n\) étant faiblement convergente vers \(f\), nous avons donc \(\lim_n T(f_n)(x)=T(f)(x)\) pour tout \(x\in[0,1]\) d’où la simple convergence de \((T(f_n))_n\) vers \(f\) sur \([0,1]\).

Il en résulte que \(\lim_n\vert T(f_n)(x)-T(f)(x)\vert^2=0\) sur \([0,1]\) et \(\vert T(f)(x)\vert=\lim_n\vert T(f_n)(x)\vert\leq \lim_n\Vert f_n\Vert_{L^2}\leq 1\). Par conséquent nous avons la domination \[\vert T(f_n)(x)-T(f)(x)\vert^2\leq 4\in L^1([0,1])\] et \[\lim_n\vert T(f_n)(x)-T(f)(x)\vert^2=0\quad \text{sur}\ [0,1].\] On peut donc appliquer le théorème de la convergence dominée \[\lim_n\Vert T(f_n)-T(f)\Vert_{L^2}=\lim_n\left( \int_0^1\,\vert T(f_n)(x)-T(f)(x)\vert^2dx\right)^{1/2}=\left( \int_0^1\,\lim_n\vert T(f_n)(x)-T(f)(x)\vert^2dx\right)^{1/2}=0\] i.e. \(\lim_n T(f_n)=T(f)\) dans \(L^2\).

Il faut montrer que toute suite \((g_n)_n\) dans l’image par \(T\) de la boule unité de \(L^2([0,1])\) admet une sous-suite convergente dans \(L^2([0,1])\). Soit donc une telle suite, il existe une suite \((f_n)_n\) dans la boule unité de \(L^2([0,1])\) telle que \(g_n=T(f_n),\ \forall\,n\in\mathbb N\). La boule unité de \(L^2([0,1])\) étant ([watop], Théorème ?? page ??) faiblement compacte, elle admet une sous-suite \((f_{n_k})_n\) faiblement convergente vers \(f\) dans \(L^2([0,1])\). Avec la question précédente, \(g_{n_k}=T(f_{n_k})\) converge vers \(T(f)\) dans \(L^2([0,1])\).

D’aprés la première question \(T(L^2([0,1]))\subset\mathscr C^0([0,1])\underset{\neq}{\subset}L^2([0,1])\), \(T\) n’est pas surjectif : \(0\) est bien une valeur spectrale.

Soient \(f,g\in L^2([0,1])\) et posons \(k(x,t)=\mathbf{1}_{[0,x]}(t)-\mathbf{1}_{[x,1]}(t)\). On a \[\begin{aligned} \langle T(f),g\rangle &=\int_0^1\, T(f)(x)\overline{g(x)}dx=\int_0^1 \left( ie^{i\pi x} \int_0^1k(x,t)e^{-i\pi t}f(t)dt\right) \overline{g(x)}dx\\ &=\int_0^1\int_0^1 \,ie^{i\pi x-i\pi t}k(x,t)f(t)\overline{g(x)}dtdx\\ &=\int_0^1\,f(t)\overline{\left(-ie^{i\pi t} \int_0^1 \,e^{-i\pi x}k(x,t)g(x)dx\right) }dt\\ &=\int_0^1\,f(t)\overline{\left(ie^{i\pi t} \int_0^1 \,e^{-i\pi x}k(t,x)g(x)dx\right) }dt\quad\text{car}\ k(x,t)=-k(t,x)\\ &=\int_0^1f(t)\overline{T(g)(t)}dt= \langle f,T(g)\rangle. \end{aligned}\] Les deux applications de Fubini sont justifiées car \(F(x,t)=ie^{i\pi x-i\pi t}k(x,t)f(t)\overline{g(x)}\in L^2([0,1]\times [0,1])\). \(T\) est donc bien hermitien et ses valeurs propres sont alors nécessairement réelles (l’écrire).

-Si \(f\) est continue sur \([0,1]\) il est clair que \(T(f)\in\mathscr C^1([0,1])\). On peut donc écrire \[T(f)'(x)=i\pi T(f)(x)+ie^{i\pi x}\left[ e^{-i\pi x}f(x)+e^{-i\pi x}f(x)\right] =i\pi T(f)(x)+2if(x).\] -Soit \(\lambda\) une valeur propre non nulle de \(T\) et \(f_\lambda\) un vecteur propre associé. \(T(f_\lambda)=\lambda\cdot f_\lambda\), donc \(f_\lambda=\lambda^{-1}T(f_\lambda)\in\mathscr C^0([0,1])\) : \(f_\lambda\) est donc continue et par suite \(T(f_\lambda)\mathscr C^1([0,1])\). Les sous-espaces propres de \(T\) (si \(T\) admet des valeurs propres seront donc toujours inclus dans \(\mathscr C^1([0,1])\). On a donc avec l’égalité ci-dessus \[f_\lambda'=\lambda^{-1}T(f_\lambda)'= i\pi\lambda^{-1}T(f_\lambda)+2i\lambda^{-1}f_\lambda=i\left[ 2\lambda^{-1}+\pi\right] f_\lambda\] soit \[f_\lambda'=i\left[ 2\lambda^{-1}+\pi\right] f_\lambda,\] qui nous donne \[f_\lambda(x)=\lambda e^{i\omega x}\quad\text{où}\quad\omega=2\lambda^{-1}+\pi.{\text{($\star$)}}\] -Maintenant on peut remarquer qu’on a toujours \[T(f)(0)=-ie^{i\pi 0}\int_0^1\,e^{-i\pi t}f(t)dt= ie^{i\pi }\int_0^1\,e^{-i\pi t}f(t)dt=T(f)(1)\] soit \(f_\lambda(0)=f_\lambda(1)\) qui implique avec (\(\star\)) que \(e^{i\omega}=1\). Sachant que les valeurs propres de \(T\) sont réelles, on a finalement \[\omega=2k\pi,\quad k\in\mathbb Z,\quad \Longleftrightarrow\quad \lambda=\dfrac{1}{\pi(k-1/2)}:=\lambda_k,\quad k\in\mathbb Z.\] Réciproquement un calcul élémentaire montre que les applications \(f_{\lambda_k}\) sont bien des vecteurs propres de \(T\) associées aux valeurs propres \(\lambda_k\).

-Le spectre de \(T\) est donc l’adhérence de la famille \(\{\lambda_k,\ k\in\mathbb Z\}\) soit \(\sigma(T)=\{0\}\cup\{\lambda_k,\ k\in\mathbb Z\}.\)