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[ID: 2991] [Date de publication: 9 novembre 2022 23:11] [Catégorie(s): Analyse fonctionnelle ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Patrice Lassère ]

Solution(s)

Solution(s)

Une bijection linéaire continue dont l’application réciproque est discontinue
Par Patrice Lassère le 9 novembre 2022 23:11

Toute fonction entière \(f\in\mathscr O(\mathbb C)\) se développe en série entière sur tout le plan complexe \[f(z)=\sum_{n=0}^\infty a_nz^n\quad \text{donc}\quad L(f)(z)=\sum_{n=0}^\infty \dfrac{a_n}{2^n}z^n,\quad z_in\mathbb C,\] et l’unicité d’un tel développement assure l’injectivité de l’opérateur \(L\). En outre, pour \(f\in\mathscr O(\mathbb C)\) on a \(L(g)=f\) où \(g(z)=f(2z)\) : \(L\) est donc un isomorphisme algèbrique de \(\mathscr O(\mathbb C)\).

Pour \(f=\sum_n a_nz^n, g=\sum_n b_nz^n\in\mathscr O(\mathbb C)\) \[\begin{aligned}\Vert L(f)-L(g)\Vert&=\sup_{\vert z\vert=1}\left\vert \sum_{n=0}^\infty \dfrac{a_n}{2^n}z^n-\sum_{n=0}^\infty \dfrac{b_n}{2^n}z^n\right\vert\\ &=\sup_{\vert z\vert=1}\left\vert\sum_{n=0}^\infty(a_n-b_n)\left( \dfrac{z}{2}\right)^n\right\vert\\ &\leq \sup_{\vert z\vert=1}\left\vert\sum_{n=0}^\infty(a_n-b_n)z^n\right\vert\\&=\Vert f-g\Vert. \end{aligned}\] où la première inégalité est justifiée par le principe du maximum. \(L\) est bien continue sur \(\mathscr O(\mathbb C)\).

\[\Vert f-f_n\Vert=\sup_{\vert z\vert=1}\left\vert\dfrac{z}{2}\right\vert^n\underset{n\to\infty}{\longrightarrow}0\] Mais \[\Vert L^{-1}(f)-L^{-1}(f_n)\Vert=\sup_{\vert z\vert=1}\left\vert\dfrac{2z}{2}\right\vert^n=1\] et par suite \(L^{-1}\) est discontinue au point \(f\) donc en tout point de \(\mathscr O(\mathbb C)\).

On peut d’ailleurs vérifier directement que \((\mathscr O(\mathbb C),\Vert.\Vert)\) n’est pas complet en considérant la suite de fonctions entières de terme général \(f_n(z)=\sum_{k=0}^n\left( \frac{z}{2}\right)^k\) : pour tout \(n,p\in\mathbb N\) \[\Vert f_{n+p}-f_n\Vert\leq \sum_{k=n+1}^{n+p}2^{-k}\leq\sum_{k\geq n+1}2^{-k}\underset{n\to\infty}{\longrightarrow}0,\] c’est donc une suite de Cauchy dans \((\mathscr O(\mathbb C),\Vert.\Vert)\). Si elle converge vers \(f\) dans \((\mathscr O(\mathbb C),\Vert.\Vert)\), alors, vu le choix de la norme, elle sera simplement convergente sur le cercle unité vers \(f\), i.e. \[f(z)=\lim_{n\to\infty}f_n(z)=\sum_{k=0}^\infty \left( \frac{z}{2}\right)^k=\dfrac{2}{2-z},\quad \forall\,\vert z\vert=1.\] \(f\) serait alors une fonction entière égale (encore les zéros isolés) à la fonction holomorphe \(f(z)=\frac{2}{2-z}\) sur le disque \(D(0,2)\) : tout ceci est absurde et \((\mathscr O(\mathbb C),\Vert.\Vert)\) n’est pas un espace de Banach.