Démontrer que \(L^2([0,1])\) est maigre dans \(L^1([0,1])\)

  1. En considérant les ensembles \(I_n=\left\lbrace \, f\in L^2([0,1])\ :\ \int_0^1\,\vert f(t)\vert^2 dt \leq n\right\rbrace .\)

  2. En considérant l’injection canonique \(i\ :\ L^2([0,1])\ \hookrightarrow\ L^1([0,1])\).

  3. En considérant les fonctionnelles \(\Lambda_n\ :\ L^1([0,1])\ni f\mapsto \ \Lambda_n(t)=\int_0^1\, f(t)g_n(t)dt\)\(g_n(t)=n{\bf{1}}_{[0,n^{-3}]}(t)\).


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[ID: 2989] [Date de publication: 9 novembre 2022 23:11] [Catégorie(s): Analyse fonctionnelle ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Patrice Lassère ]




Solution(s)

Solution(s)

\(L^2([0,1])\) est maigre dans \(L^1([0,1])\)
Par Patrice Lassère le 9 novembre 2022 23:11

Par Cauchy-Schwarz, \(\Vert f\Vert_2\leq \Vert f\Vert_1,\ \forall\, f\in L^2([0,1])\) : \(L^2([0,1])\) est donc inclu dans \(L^1([0,1])\) et l’injection canonique \(i\ :\ L^2([0,1])\ \hookrightarrow\ L^1([0,1])\) est continue.

  1. L’inclusion \(L^2([0,1])\subset L^1([0,1])\) assure que \(L^2([0,1])=\bigcup_n I_n\).

    \(\rightsquigarrow\) Montrons que \(I_n\) est fermé dans \(L^1([0,1])\) (\(I_n\) est fermé dans \(L^2([0,1])\) : c’est la boule \(B^f_{L^2}(0,n)\)...). Soit donc \(f\in\overline{I_n}^{L^1}\), il existe une suite \((f_k)\subset I_n\) telle que \(\lim_k f_k=f\) dans \(L^1([0,1])\) et quitte à prendre une sous-suite, on peut supposer1 que la suite \((f_k)_k\) est simplement convergente presque partout sur \([0,1]\). Alors, \(f^2_k\to f^2\) est simplement convergente presque partout sur \([0,1]\) et par le lemme de Fatou2 \[\int_0^1\,\liminf_k f^2_k(t)dt\leq \liminf_k\int_0^1\,f^2_k(t)dt\leq n.\] Ainsi, \(h:=\liminf_k f^2_k\in L^1([0,1])\) et \(\int_0^1\,\vert h(t)\vert dt_leq n\) i.e. \(h\in I_n\) ; comme \(h=f^2\) presque partout n en déduit que \(f^2\in L^1([0,1])\) et \(\int_0^1 \,f^2(t)dt\leq n\) i.e. \(f\in I_n\) : \(I_n\) est bien fermé dans \(L^1([0,1])\).

    \(\rightsquigarrow\) Montrons maintenant que les \(I_n\) sont d’intérieur vide dans \(L^1([0,1])\). \(I_n\) est inclu dans \(L^2([0,1])\) qui est un sous-espace vectoriel strict de l’espace métrique \(L^1([0,1])\) donc d’intérieur vide dans \(L^1([0,1])\) et il en est donc de même pour \(I_n\).

    \(\rightsquigarrow\) Nous sommes maintenant en mesure de conclure : \(L^2([0,1])=\bigcup_n I_n\) est donc réunion dénombrable de fermés d’intérieur vide, dans l’espace de Baire \(L^1([0,1])\) : \(L^2([0,1])\) est donc maigre dans \(L^1([0,1])\), c’est le théorème de Baire.

  2. Comme nous l’avons remarqué en préambule, l’injection canonique entre les deux espaces de Frechets \[i\ :\ (L^2([0,1]), \Vert\cdot\Vert_2)\ \hookrightarrow\ (L^1([0,1]), \Vert\cdot\Vert_1)\] est continue : par le théorème de l’application ouverte \(i(L^2([0,1]))=L^2([0,1])\) est soit égal à \(L^1([0,1])\) soit maigre dans \(L^1([0,1])\). Comme \(L^2([0,1])\underset{\neq}{\subset}L^1([0,1])\) (considérer \(t\mapsto t^{-1/2}\)...) \(L^2([0,1])\) est bien maigre dans \(L^1([0,1])\).

  3. Pour \(f\in L^1([0,1])\) \[\vert \Lambda_n(f)\vert= \left\vert\int_0^{n^{-3}}\,nf(t)dt\right\vert\leq n\Vert f\Vert_1,\] les formes linéaires \(\Lambda_n\) sont donc continues sur \(L^1([0,1])\) (\(\Lambda_n\in L^1([0,1])'\)). Avec Banach-Steinhaus [watop], si l’on pose \[\mathscr C=\left\lbrace \,f\in L^1([0,1])\ :\ (\Lambda_n(f))_n\ {\text{est bornée }}\right\rbrace\] alors, ou bien \(\mathscr C\) est maigre dans \(L^1([0,1])\) ou bien \(\mathscr C=L^1([0,1])\). Cette dernière alternative est exclue, pour s’en convaincre, considérons les applications \(f_\alpha(t)=t^{-\alpha}\in L^1([0,1]),\ (\alpha<1)\), par un calcul élémentaire \[\Lambda(f_\alpha)=\dfrac{n^{3\alpha-2}}{1-\alpha} \underset{n\to\infty}{\longrightarrow}+\infty\] pour \(2/3<\alpha<1\). \(\mathscr C\) est donc maigre dans \(L^1([0,1])\). Maintenant, pour \(f\in L^2([0,1])\) \[\vert \Lambda_n(f)\vert= \left\vert\int_0^{n^{-3}}\,nf(t)dt\right\vert\underset{CS}{\leq} \left( \int_0^{n^{-3}}\,f^2(t)dt\right)^{1/2}\left( \int_0^{n^{-3}}\,n^2(t)dt\right)^{1/2} \leq \dfrac{\Vert f\Vert_2}{\sqrt{n}}\] soit \[\forall\,f\in L^2([0,1])\ :\quad \lim_n \Lambda_n(f)=0.\] Autrement dit \(L^2([0,1])\) est inclu dans \(\mathscr C\) maigre dans \(L^1([0,1])\), il est aussi maigre dans \(L^1([0,1])\).


  1. [waint], prop. 2.13.6.1  
  2. [waint], th.2.9.6.2  

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