Soit \(f\) une fonction holomorphe sur un ouvert \(\Omega\setminus\{a\}\subset\mathbb C\).

  1. On suppose le point \(a\) est isolé (i.e. que \(f\) st holomorphe sur un un disque épointé \(D(a,r)\setminus\{a\}\subset\Omega\setminus\{a\}\)) et qu’il existe une suite \((r_n)_n\subset]0,r[\) décroissante vers \(0\) telle que \(f\) soit bornée sur chaque cercle \(C(a,r_n)\). Montrer que \(f\) présente au point \(a\) une singularité virtuelle (i.e. sur prolonge holomorphiquement au point \(a\)).

  2. Montrer que le résultat précédent tombe en défaut si le point \(a\) n’est plus isolé (au sens où \(f\) admet une suite de pôles \((a_n)_n\subset\mathbb C\setminus\Omega\) qui converge vers \(a\).)


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[ID: 2987] [Date de publication: 9 novembre 2022 23:04] [Catégorie(s): Fonctions holomorphes ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Patrice Lassère ]




Solution(s)

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Comportement au voisinage d’un point singulier essentiel isolé et non isolé
Par Patrice Lassère le 9 novembre 2022 23:04
  1. Supposons1 qu’il existe \(M>0\) tel que \[\sup_{\vert z-a\vert=r_n}\vert f(z)\vert\leq M,\quad\forall\,n\in\mathbb N.\] En appliquant le principe du maximum à la fonction holomorphe \(f\) sur chaque couronne \(C(0,r_n,r_{n+1}):=\{\,z\in\mathbb C\ :\ r_{n+1}<\vert z-a\vert<r_n\}\) on déduit immédiatement que \[\sup_{0<\vert z - a\vert<r_0}\vert f(z)\vert\leq M.\] Il est alors classique que \(f\) présente au point \(a\) une singularité virtuelle.

  2. Considèrons une suite \((a_n)_n\subset\mathbb C\) telle que la série \(\sum_n\,\vert a_n\vert\) soit convergente et la fonction \[f(z)=\sum_{n=1}^\infty\dfrac{a_n}{z-n}.\] Soient \(R>0,\ z\in D(0,R)\). Si on laisse de cotés les premiers termes de la série dont le pôle est à l’intérieur du disque \(D(0,R)\), les autres termes (disons pour \(n\geq n_0\)) seront holomorphes sur ce disque et, pour \(\vert z\vert<R\), \(n\geq n_0\) \[\left\vert\dfrac{a_n}{z-n}\right\vert\leq\dfrac{\vert a_n\vert}{n-\vert z\vert}< \dfrac{\vert a_n\vert}{n_0+1-R}= C\vert a_n\vert.\] Cette inégalité assure la normale convergence et donc l’holomorphie de la série \(\sum_{n>n_0}\frac{a_n}{z-n}\) sur \(D(0,R)\). \(R>0\) étant arbitraire, \(f\) est une fonction méromorphe sur \(\mathbb C\) admettant pour pôles les entiers \(n\in\mathbb N^\star\).

    Soit \(n,k\in\mathbb N^\star\), pour \(z\in C(0,k+\frac{1}{2})\) on a \[\vert z-n\vert\geq \Big\vert\vert z\vert-n \Big\vert=\vert k+\frac{1}{2}-n\vert\geq \frac{1}{2},\] i.e. \[\dfrac{1}{\vert z-n\vert}\leq 2,\quad \forall\,z\in C(0,k+\frac{1}{2}),\ \text{\ et }\ n\in\mathbb N^\star\] et on a finalement \[\max_{\vert z\vert=k+\frac{1}{2}}\vert f(z)\vert\leq 2\sum_{n\geq 1}\vert a_n\vert,\quad\forall\,k\in\mathbb N^\star.\] \(f\) est donc bornéee sur les cercles \(C(0,k+\frac{1}{2})\) et, en remplacant \(z\) par \(1/z\) on obtient une fonction méromorphe \[g(z)=f\left(\dfrac{1}{z}\right)=\sum_{n\geq 1}\dfrac{a_nz}{1-nz}\] admettant pour pôles les points \(1/n\), \((n\in\mathbb N^\star)\) et l’origine comme point singulier essentiel. Toutefois, vu ce qui précède, son module reste borné sur les cercles de rayon \(r_k=\left(k+\frac{1}{2}\right)^{-1}\) ce qui nous fourni l’exemple désiré.

    Remarque : Toutefois, malgré l’exemple ci-dessus, le comportement au voisinage d’un point singulier essentiel et des plus chaotique : \(f\) prends chaque valeur sauf peut être une, une infinité de fois, c’est le théorème2 de Casorati-Weierstrass.


  1. 1  G.Julia, Leçons sur les fonctions uniformes à point singulier essentiel isolé, Gauthier-Villars (1924).
  2. [wahol], page ?? ou [amar], page ??2  Voir par exemple

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