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[ID: 2987] [Date de publication: 9 novembre 2022 23:04] [Catégorie(s): Fonctions holomorphes ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Patrice Lassère ]

Solution(s)

Solution(s)

Comportement au voisinage d’un point singulier essentiel isolé et non isolé
Par Patrice Lassère le 9 novembre 2022 23:04

1. Supposons¹ qu’il existe \(M>0\) tel que \[\sup_{\vert z-a\vert=r_n}\vert f(z)\vert\leq M,\quad\forall\,n\in\mathbb N.\] En appliquant le principe du maximum à la fonction holomorphe \(f\) sur chaque couronne \(C(0,r_n,r_{n+1}):=\{\,z\in\mathbb C\ :\ r_{n+1}<\vert z-a\vert<r_n\}\) on déduit immédiatement que \[\sup_{0<\vert z - a\vert<r_0}\vert f(z)\vert\leq M.\] Il est alors classique que \(f\) présente au point \(a\) une singularité virtuelle.

2. Considèrons une suite \((a_n)_n\subset\mathbb C\) telle que la série \(\sum_n\,\vert a_n\vert\) soit convergente et la fonction \[f(z)=\sum_{n=1}^\infty\dfrac{a_n}{z-n}.\] Soient \(R>0,\ z\in D(0,R)\). Si on laisse de cotés les premiers termes de la série dont le pôle est à l’intérieur du disque \(D(0,R)\), les autres termes (disons pour \(n\geq n_0\)) seront holomorphes sur ce disque et, pour \(\vert z\vert<R\), \(n\geq n_0\) \[\left\vert\dfrac{a_n}{z-n}\right\vert\leq\dfrac{\vert a_n\vert}{n-\vert z\vert}< \dfrac{\vert a_n\vert}{n_0+1-R}= C\vert a_n\vert.\] Cette inégalité assure la normale convergence et donc l’holomorphie de la série \(\sum_{n>n_0}\frac{a_n}{z-n}\) sur \(D(0,R)\). \(R>0\) étant arbitraire, \(f\) est une fonction méromorphe sur \(\mathbb C\) admettant pour pôles les entiers \(n\in\mathbb N^\star\).

   Soit \(n,k\in\mathbb N^\star\), pour \(z\in C(0,k+\frac{1}{2})\) on a \[\vert z-n\vert\geq \Big\vert\vert z\vert-n \Big\vert=\vert k+\frac{1}{2}-n\vert\geq \frac{1}{2},\] i.e. \[\dfrac{1}{\vert z-n\vert}\leq 2,\quad \forall\,z\in C(0,k+\frac{1}{2}),\ \text{\ et }\ n\in\mathbb N^\star\] et on a finalement \[\max_{\vert z\vert=k+\frac{1}{2}}\vert f(z)\vert\leq 2\sum_{n\geq 1}\vert a_n\vert,\quad\forall\,k\in\mathbb N^\star.\] \(f\) est donc bornéee sur les cercles \(C(0,k+\frac{1}{2})\) et, en remplacant \(z\) par \(1/z\) on obtient une fonction méromorphe \[g(z)=f\left(\dfrac{1}{z}\right)=\sum_{n\geq 1}\dfrac{a_nz}{1-nz}\] admettant pour pôles les points \(1/n\), \((n\in\mathbb N^\star)\) et l’origine comme point singulier essentiel. Toutefois, vu ce qui précède, son module reste borné sur les cercles de rayon \(r_k=\left(k+\frac{1}{2}\right)^{-1}\) ce qui nous fourni l’exemple désiré.

   Remarque : Toutefois, malgré l’exemple ci-dessus, le comportement au voisinage d’un point singulier essentiel et des plus chaotique : \(f\) prends chaque valeur sauf peut être une, une infinité de fois, c’est le théorème2 de Casorati-Weierstrass.

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1. 1  G.Julia, Leçons sur les fonctions uniformes à point singulier essentiel isolé, Gauthier-Villars (1924).
2. [wahol], page ?? ou [amar], page ??2  Voir par exemple