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[ID: 2985] [Date de publication: 9 novembre 2022 23:04] [Catégorie(s): Fonctions holomorphes ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Patrice Lassère ]

Solution(s)

Solution(s)

L’équation \(f^2+g^2=1\) dans \(\mathscr O(\mathbb C)\)
Par Patrice Lassère le 9 novembre 2022 23:04

Si \(f=\cos(h),\ g=\sin(h)\) avec \(h\in \mathscr O(\mathbb C)\) alors \(f^2+g^2=1\). Réciproquement, soient \(f,g\in\mathscr O(\mathbb C)\) vérifiant (\(\star\)), comme \[\left( f^2+g^2=1\right ) \Longleftrightarrow \left( (f-ig)(f+ig)=1 \right ),\] \(f+ig\) est donc une fonction entière sans zéros sur \(\mathbb C\), il existe donc ([wahol], corollaire 1-14-4) une fonction entière \(h\) telle que \(f+ig=e^h\). Mais alors \[f-ig=\dfrac{1}{f+ig}=e^{-h},\] soit \[\begin{aligned} f&=\dfrac{e^h+e^{-h}}{2}={\rm{ch}}(h)=\cos(ih)=\cos({-ih})\\ g&=\dfrac{e^h-e^{-h}}{2i}=\dfrac{1}{i}{\rm{sh}}(h)=\dfrac{1}{i}\left[ -i\sin(ih)\right] =-\sin({ih})=\sin({-ih}),\end{aligned}\] où encore, en posant \(H=-ih\in\mathscr O(\mathbb C)\), \(f=\cos(H),\ g=\sin(H)\). Q.E.D.