Barre utilisateur

[ID: 2983] [Date de publication: 9 novembre 2022 23:04] [Catégorie(s): Fonctions holomorphes ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Patrice Lassère ]

Solution(s)

Solution(s)

Une fonction entière universelle
Par Patrice Lassère le 9 novembre 2022 23:04

 Rappel : La topologie usuelle sur \(\mathscr O(\mathbb C)\) est la topologie de la convergence compacte. Il s’agit donc de montrer qu’il existe \(f\in\mathscr O(\mathbb C)\) telle que pour tout compact \(K\subset\mathbb C\), tout \(\varepsilon>0\) et toute application \(g\in\mathscr O(\mathbb C)\), il existe un entier \(N\) tel que \(\sup_{z\in K}\vert f^{(N)}(z)-g(z)\vert<\varepsilon\).

Soit \((P_n)_{n\geq 1}\) une énumération de tous les polynômes à coefficients rationnels. Soit \(I\) l’opérateur intégral définit sur \(\mathscr O(\mathbb C)\) par \[I(h)(z)=\int_0^z h(w)dw,\] Les itérés \(I\circ I\circ\dots\circ I\) (\(k\) fois) seront notés \(I^k\) comme le veut la tradition. Notre fonction va être de la forme suivante : \[f=\sum_{n\geq 1}I^{k_n}(P_n)\] où la suite d’entiers \((k_n)_n\) vérifie les propriétés suivantes :

\(\rightsquigarrow\)\(k_n>k_j+\text{deg}(P_j),\quad 1\leq j\leq n-1.\)

\(\rightsquigarrow\)En notant \(H_n=I^{k_n}(P_n)\) \[\vert H_n^{(j)}(z)\vert\leq \dfrac{1}{2^n},\quad\text{pour}\ 0\leq j\leq k_{n-1}\ \text{ et }\ \vert z\vert\leq n.{(\text{$\star$})}\] Si cela peut être fait, la série définissant \(f\) convergera uniformément sur tout compact de \(\mathbb C\) (avec la seconde propriété) et par conséquent \(f\in\mathscr O(\mathbb C)\) ; toujours par () elle pourra être dérivée terme à termes. En outre, (encore ()) on aura \[f^{(k_n)}(z)=P_n(z)+E_n(z),\quad\text{et}\quad \vert E_n(z)\vert\leq 2^{-(n-1)},\quad\forall\,\vert z\vert\leq n.\] Si tel est le cas, la fonction \(f\) possède bien les propriétés désirées : en effet, la suite des sommes partielles de la série série de Taylor de toute fonction entière \(g\in\mathscr O(\mathbb C)\) converge uniformément vers \(g\) sur tout compact de \(\mathbb C\), comme sur tout compact tout polynôme est uniformément approchable par des polynômes à coefficients rationnels, \(\mathbb Q[z]\) est dense dans \(\mathscr O(\mathbb C)\) pour la topologie de la convergence compacte. Ainsi, pour \(g\in\mathscr O(\mathbb C)\) et \(K\) compact il existe \(N\in\mathbb N\) suffisament grand pour que \[\sup_{z\in K}\vert f(z)-P_N(z)\vert\leq\varepsilon\quad\text{et}\quad K\subset\{z\ :\ \vert z\vert\leq N\},\] de telle sorte que \[\sup_{z\in K}\vert f(z)-f^{(K_N)}(z)\vert\leq\sup_{z\in K}\vert f(z)-P_N(z)\vert+\sup_{\vert z\vert\leq N}\vert E_N(z) \vert\leq\varepsilon+2^{-(N+1)}\] d’où le résultat.

Pour achever la démonstration, il ne reste plus qu’à montrer que la suite \((K_n)_n\) peut être choisie vérifiant (). Pour cela, si on remarque que \(I(z^r)=z^{r+1}/(r+1)\) on a \[\left\vert I^k(z^r)\right\vert=\left\vert\dfrac{z^{r+k}}{(r+1)\dots(r+k)}\right\vert\leq\vert z\vert^r\dfrac{\vert z\vert^k}{k!}\leq R^r\dfrac{R^k}{k!},\quad\forall\,z\in\overline{D(0,R)}.\] Ainsi, pour tout \(r\in\mathbb N\), la suite \((I^k(z^r))_k\) converge uniformément vers \(0\) sur tout disque \(\{z\ :\ \vert z\vert\leq R\}\) (i.e. converge vers \(0\) dans \(\mathscr O(\mathbb C)\)). Il en est de même pour \(I^k(P_n)\) (\(n\in\mathbb N\)) comme combinaison linéaire finie de \(I^k(z^r)\) ainsi que de leur dérivées \(\left(I^k(z^r)\right)^{(d)}\) par continuité de la dérivation dans \(\mathscr O(\mathbb C)\). Il est donc possible de choisir \(K_n\) assez grand pour que () soit réalisée.