Soit \(\Omega\) un ouvert du plan complexe. Montrer que sur \(\mathscr O(\Omega)\) la topologie induite par \(L^1_{loc}(\Omega)\) coïncide avec la topologie usuelle de la convergence compacte sur \(\Omega\).


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[ID: 2981] [Date de publication: 9 novembre 2022 23:04] [Catégorie(s): Fonctions holomorphes ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Patrice Lassère ]




Solution(s)

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Sur \(\mathscr O(\Omega)\), les topologies de la convergence compacte et \(L^1_{loc}\) coïncident
Par Patrice Lassère le 9 novembre 2022 23:04

La topologie usuelle sur l’espace \(\mathscr O(\Omega)\) des fonctions holomorphes sur un ouvert \(\Omega\subset\mathbb C\) est la topologie de la convergence compacte \(\mathscr T_c\) sur \(\Omega\), i.e. (c.f. [watop] où exo ??) la topologie engendrée par la famille de semi-normes \((\Vert.\Vert_K)_{K\in\mathscr K(\Omega)}\). \((\mathscr O(\Omega),\mathscr T_c)\) est un espace de Fréchet (i.e. un espace localement convexe métrisable complet) et une suite \((f_n)_n\) dans \(\mathscr O(\Omega)\) converge vers \(f_in\mathscr O(\Omega)\) si, et seulement si elle converge uniformément sur tout compact de \(\Omega\).

Toute application \(f\in\mathscr O(\Omega)\) étant localement intégrable, \(\mathscr O(\Omega)\) se plonge naturellement dans \(L^1_{loc}(\Omega)\) espace des classes de fonctions localement intégrable sur \(\Omega\) et induit donc sur \(\mathscr O(\Omega)\) la topologie \(\mathscr T_{1,loc}\). Sur \((L^1_{loc}(\Omega),\mathscr T_{1,loc})\) la topologie est engendrée par les semi-normes \[\Vert f\Vert_{1,K}:=\int_K\vert f(z)\vert dxdy,\quad K\in\mathscr K(\Omega).\] Montrer que sur \(f\in\mathscr O(\Omega)\) les deux topologies \(\mathscr T_c\) et \(\mathscr T_{1,loc}\) coïncident équivaut à montrer que l’identitité \[i\ :\ (\mathscr O(\Omega),\mathscr T_c) \longrightarrow (\mathscr O(\Omega),\mathscr T_{1,loc})\] est un isomorphisme topologique.

De toute évidence, nous avons pour tout \(K\in\mathscr K(\Omega)\) \[\Vert f\Vert_{1,K}==\int_K\vert f(z)\vert dxdy\leq \lambda(K)\Vert f\Vert_{\infty,K},\qquad\forall\,f\in\mathscr O(\Omega).\] (où \(\lambda(K)=\int_K dxdy\) est la mesure de Lebesgue de \(K\)) Cette inégalité assure la continuité de \(i\ :\ (\mathscr O(\Omega),\mathscr T_c) \longrightarrow (\mathscr O(\Omega),\mathscr T_{1,loc})\), soit \(\mathscr T_{1,loc}\subset \mathscr T_c\).

Pour l’autre inclusion, nous aurons besoin de l’égalité de la moyenne planaire locale : \[\forall\,\ \overline{D(a,r)}\subset\Omega,\ \forall\,f\in\mathscr O(\Omega)\ :\quad f(a)=\dfrac{1}{\pi r^2}\int_{D(a,r)}f(x+iy)dxdy.\] (pour une démontration, passer en polaires dans l’intégrale et penser à la formule de Cauchy) Montrer inclusion \(\mathscr T_c\subset\mathscr T_{1,loc}\) équivaut à établir la continuite de \(i^{-1}\ :\ (\mathscr O(\Omega),\mathscr T_{1,loc}) \longrightarrow (\mathscr O(\Omega),\mathscr T_c)\) i.e. \[\forall\,K\in\mathscr K(\Omega),\ \exists\,L\in \mathscr(\Omega),\ C_K>0\ :\quad \Vert f\Vert_{\infty,K}\leq C_K \Vert f\Vert_{1,L},\quad\forall\,f\in\mathscr O(\Omega).{(\text{$\star$})}\] Soit donc \(K\in\mathscr K(\Omega)\), il existe \(\varepsilon>0\) tel que \[{\rm{dist}}(K,\partial\Omega)>2\varepsilon.\] Avec ce choix, \(L:=K+\overline{D(0,\varepsilon)}=\{z\in\Omega\ :\ {\rm{dist}}(z,K)\leq \varepsilon\}\) est un compact de \(\Omega\) vérifiant \[\forall\,z\in K,\ \overline{D(z,\varepsilon)}\subset L\subset\Omega,\] si bien qu’avec la formule de la moyenne nous avons pour tout \(z\in K\) et \(f\in\mathscr O(\Omega)\) \[\vert f(z)\vert=\left\vert\dfrac{1}{\pi \varepsilon^2}\int_{\overline{D(z,\varepsilon)}}f(x+iy)dxdy\right\vert\leq\dfrac{1}{\pi \varepsilon^2}\Vert f\Vert_{1,\overline{D(z,\varepsilon)}} \leq\dfrac{1}{\pi \varepsilon^2}\Vert f\Vert_{1,L}\] soit (\(\star\)), Q.E.D.


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