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[ID: 2979] [Date de publication: 9 novembre 2022 23:04] [Catégorie(s): Fonctions holomorphes ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Patrice Lassère ]

Solution(s)

Solution(s)

Une fonction entière non constante mais bornée sur toute droite passant par l’origine.
Par Patrice Lassère le 9 novembre 2022 23:04

1. et

2. L’intégrale impropre définissant \(f\) est clairement convergente pour tout \(z\in\mathbb C\) (l’intégrande se prolonge continuement à l’origine et est un \(o(t^{-2})\) à l’infini) : \(f\) est donc bien définie sur \(\mathbb C\). Pour les mêmes raisons, on peut localement appliquer le théorème de continuité et dérivation des intégrales à paramètres ([wahol], théorème 1.16.1) pour affirmer que \(f\) est holomorphe sur \(\mathbb C\) (on peut aussi invoquer ce théorème pour montrer que \(f\) est continue sur \(\mathbb C\) puis conclure avec celui de Moréra ; ou enfin encore développer \(f\) en une série entière de rayon de convergence infini). La formule \(\overline{f(z)}=f(\overline z)\) est elle immédiate.

3. Pour \(w\in\mathbb C\setminus \mathbb R_-\) posons \(w^w=\exp(w\log(w))\) où \(\log\) est la détermination principale du logarithme. La fonction \(g\ :\ w\mapsto \dfrac{\exp(wz)}{w^w}\) étant holomorphe sur \(\mathbb C\setminus \mathbb R_-\), le théorème de Cauchy assure que pour tous \(0<\varepsilon<r\) \[\int_{C_{\varepsilon,r}}\dfrac{\exp(wz)}{w^w}dw=0\] où \(C_{\varepsilon,r}\) est le chemin indiqué dans la figure ci-dessous.

   

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   Soit \[\int_{C_{\varepsilon,r}}\dfrac{\exp(wz)}{w^w}dw=\int_{[\varepsilon,r]}+ \int_{C_r}+\int_{C_\varepsilon}+\int_{[ir,i\varepsilon]}=0,\quad\forall\ 0<\varepsilon<r.\] Bien évidemment \[\int_{[\varepsilon,r]}\dfrac{\exp(wz)}{w^w}dw=\int_\varepsilon^r \dfrac{\exp(tz)}{t^t}dt\quad \underset{\underset{\varepsilon\to 0}{r\to 0}}{ \longrightarrow}\quad \int_\varepsilon^r \dfrac{\exp(tz)}{t^t}dt=f(z)\] et \[\int_{[ir,i\varepsilon]}\dfrac{\exp(wz)}{w^w}dw=-\int_\varepsilon^r \dfrac{e^{itz}}{\exp{it(\log(t)+i\pi/2)}}idt\quad \underset{\underset{\varepsilon\to 0}{r\to 0}}{ \longrightarrow}\quad \dfrac{e^{itz}}{\exp{it(\log(t)+i\pi/2)}}idt.\] Sur le contour \(C_\varepsilon\) nous avons \[\begin{aligned} \left\vert \int_{C_\varepsilon}\dfrac{\exp(wz)}{w^w}dw \right\vert &= \left\vert \int_0^{\pi/2}\dfrac{\exp\left\lbrace \varepsilon(\cos(\theta)+i\sin(\theta))(x+iy)\right\rbrace } {\exp \left\lbrace \varepsilon(\cos(\theta)+i\sin(\theta))(\log(\varepsilon)+i\theta)\right\rbrace }i\varepsilon e^{i\theta}d\theta \right\vert\\ &\leq \int_0^{\pi/2} \dfrac{\exp\left\lbrace \varepsilon(x\cos(\theta)-y\sin(\theta))\right\rbrace } {\exp \left\lbrace \varepsilon(\log(\varepsilon)\cos(\theta)-\theta\sin(\theta))\right\rbrace } \varepsilon d\theta \\ &\leq \int_0^{\pi/2}\exp\left\lbrace \varepsilon\cos(\theta)(x-\log(\varepsilon)) \right\rbrace \exp\left\lbrace \varepsilon\sin(\theta)(\theta-y) \right\rbrace \varepsilon d\theta\\ &= \int_0^{\pi/2} g_{x,y}(\varepsilon,\theta)d\theta = \int_0^{2\pi} C\varepsilon d\theta = \dfrac{C\pi\varepsilon}{2} \end{aligned}\] par continuité \((\varepsilon,\theta)\mapsto g_{x,y}(\varepsilon,\theta)\) sur le compact \([0,1]\times[0,2\pi]\) (ou, au choix par convergence dominée) ; en conséquent \[\lim_{\varepsilon\to 0}\int_{C_\varepsilon}\dfrac{\exp(wz)}{w^w}dw=0\] et finalement \[\lim_{\varepsilon\to 0}\lim_{r\to\infty}\int_{C_{\varepsilon,r}}g(w)dw=0 =f(z)-\int_0^\infty \dfrac{e^{itz}}{\exp{it(\log(t)+i\pi/2)}}idt+\lim_{r\to\infty}\int_{C_r} \dfrac{\exp(wz)}{w^w}dw\] d’où la formule désirée \[f(z)=\int_0^\infty \dfrac{e^{itz}}{\exp{it(\log(t)+i\pi/2)}}idt- \lim_{r\to\infty}\int_{C_r}\dfrac{\exp(wz)}{w^w}dw.{\text{($\star$)}}\]

4. Soit \(z=x+iy=x+i(\pi/2+C),\ (C>0)\) un nombre complexe de partie imaginaire strictement plus grande que \(\pi/2\). Le premier terme à droite dans (\(\star\)) est majoré par \(C^{-1}\) \[\begin{aligned} \left\vert \int_0^\infty \dfrac{e^{itz}}{\exp{it(\log(t)+i\pi/2)}}idt\right\vert&\leq \int_0^\infty \left\vert\exp(itz)\right\vert \exp(t\pi/2)dt\\ &\leq \int_0^\infty \exp\left\lbrace -t(y-\pi/2)\right\rbrace dt\\ &\leq \int_0^\infty \exp(-Ct)dt=\dfrac{1}{C}. \end{aligned}\] Pour le second terme \[\begin{aligned} \left\vert\int_{C_r}\dfrac{\exp(wz)}{w^w}dw\right\vert&\leq \int_0^{2\pi}\left\vert \dfrac{\exp\left\lbrace r(\cos\theta+i\sin\theta)(x+i(\pi/2+C))\right\rbrace } {\exp\left\lbrace r(\cos\theta+i\sin\theta)(\log r+i\theta)\right\rbrace } ire^{i\theta}d\theta \right\vert\\ &\leq \int_0^{\pi/2} r\exp\left\lbrace r\cos\theta(x-\log r)\right\rbrace \exp\left\lbrace r\sin\theta(\theta-C-\pi/2)\right\rbrace d\theta\\ &\leq \int_0^{\pi/2}r\exp\left\lbrace r\sin\theta(\theta-\pi/2-C)\right\rbrace d\theta\qquad\text{dès que }\quad \log r>x \\ &\leq \int_0^{\pi/2}r\exp\left\lbrace -Cr\sin\theta\right\rbrace d\theta\\ &\leq \int_0^{\pi/2}r\exp\left\lbrace -\dfrac{2Cr\theta}{\pi}\right\rbrace d\theta\qquad\text{car}\quad\sin(\theta)\geq \dfrac{2\theta}{\pi}\ \text{sur}\ [0,\pi/2]\\ &\leq \dfrac{\pi}{2C}\left[ 1-e^{-Cr}\right] \mathop{\longrightarrow}\limits_{r\to +\infty}\quad \dfrac{\pi}{2C}. \end{aligned}\] On a donc pour \(r>r_0\) \[\left\vert\int_{C_r}\dfrac{\exp(wz)}{w^w}dw\right\vert\leq \dfrac{\pi}{C}.\] Ces deux majorations assurent qu’il existe une constante \(C'>O\) telle que \[\vert f(z)\vert \leq C',\qquad \forall\,z\in\mathbb C\quad\text{vérifiant}\quad\vert\text{im}(z)\vert>\pi/2.{(\text{$\star$})}\] \(f\) est en particulier bornée en dehors de la bande horizontale \(\{z\in\mathbb C\ :\ \vert\text{im}(z)\vert\leq \pi\}\).

5. Vu ce qui précède, la fonction entière \(g(z)=f(z-2i\pi)\) est bornée en dehors de la bande horizontale \(\{z\in\mathbb C\ :\ \pi\leq \text{im}(z)\leq 3\pi\}\) ; l’intersection de toute droite complexe passant par l’origine avec cette bande étant compacte, \(g\) est bien bornée sur une telle droite et vérifie donc la propriété désirée.

6. On a pour \(x\in\mathbb R_+\) \[\begin{aligned} \vert g(x+2i\pi)\vert &= \vert f(x)\vert = \int_0^\infty \dfrac{e^{xt}}{t^t}dt\\ &\geq \int_0^1 \dfrac{e^{xt}}{t^t}dt = \int_0^1 e^{t(x-\log(t))}dt\\ &\geq \int_0^1 e^{tx}dt =\left[ \dfrac{e^{tx}}{x}\right]_0^1=\dfrac{e^x-1}{x} \end{aligned}\] soit \[\lim_{x\to\infty}\vert g(x+2i\pi)\vert=+\infty.\]